1. Método de agrupación:
Agrupamos los términos de dos en dos:
$$ (a^5 + a^4) + (a^3 + a^2) + (a + 1) $$

2. Extracción de factor común:
Extraemos el factor común de cada paréntesis:
$$ a^4(a + 1) + a^2(a + 1) + 1(a + 1) $$
Extraemos el factor común $(a + 1)$:
$$ (a + 1)(a^4 + a^2 + 1) $$

3. Factorización de la expresión de cuarto grado:
La expresión $a^4 + a^2 + 1$ es un caso clásico de factorización (quitar y poner):
$$ a^4 + a^2 + 1 = (a^4 + 2a^2 + 1) - a^2 = (a^2 + 1)^2 - a^2 $$
Aplicando diferencia de cuadrados:
$$ (a^2 + 1 - a)(a^2 + 1 + a) = (a^2 - a + 1)(a^2 + a + 1) $$

4. Consolidación de factores:
Sustituimos en la expresión original:
$$ (a + 1)(a^2 - a + 1)(a^2 + a + 1) $$

También se pudo agrupar como $(a^5 + a^4 + a^3) + (a^2 + a + 1) = a^3(a^2 + a + 1) + 1(a^2 + a + 1) = (a^3 + 1)(a^2 + a + 1)$, donde $a^3 + 1 = (a + 1)(a^2 - a + 1)$.

Resultado:
$$ \boxed{(a + 1)(a^2 + a + 1)(a^2 - a + 1)} $$