Ii
MATU • Algebra
MATU_FACT_074
Solving Problems in Algebra and Trigonometry Litvinenko Mordkovich
Enunciado
Factorizar la expresión:
$$ a^2b + ab^2 + a^2c + b^2c + bc^2 + 3abc $$
$$ a^2b + ab^2 + a^2c + b^2c + bc^2 + 3abc $$
Solución Paso a Paso
1. Agrupación inteligente:
El término $3abc$ se puede descomponer como $abc + abc + abc$ para distribuirlo entre los otros términos y facilitar la agrupación por factor común.
$$ a^2b + ab^2 + abc + a^2c + abc + ac^2 + b^2c + bc^2 + abc $$
2. Factorización por grupos:
Agrupamos de tres en tres:
$$ \begin{array}{l} G_1 = (a^2b + ab^2 + abc) = ab(a + b + c) \\ G_2 = (a^2c + abc + ac^2) = ac(a + b + c) \\ G_3 = (b^2c + bc^2 + abc) = bc(b + c + a) \end{array} $$
3. Factor común global:
Ahora, extraemos el factor común $(a + b + c)$ de los tres grupos resultantes:
$$ ab(a + b + c) + ac(a + b + c) + bc(a + b + c) = (a + b + c)(ab + ac + bc) $$
Resultado:
$$ \boxed{(a + b + c)(ab + ac + bc)} $$
El término $3abc$ se puede descomponer como $abc + abc + abc$ para distribuirlo entre los otros términos y facilitar la agrupación por factor común.
$$ a^2b + ab^2 + abc + a^2c + abc + ac^2 + b^2c + bc^2 + abc $$
2. Factorización por grupos:
Agrupamos de tres en tres:
$$ \begin{array}{l} G_1 = (a^2b + ab^2 + abc) = ab(a + b + c) \\ G_2 = (a^2c + abc + ac^2) = ac(a + b + c) \\ G_3 = (b^2c + bc^2 + abc) = bc(b + c + a) \end{array} $$
3. Factor común global:
Ahora, extraemos el factor común $(a + b + c)$ de los tres grupos resultantes:
$$ ab(a + b + c) + ac(a + b + c) + bc(a + b + c) = (a + b + c)(ab + ac + bc) $$
Resultado:
$$ \boxed{(a + b + c)(ab + ac + bc)} $$