1. Análisis del método:
Dado que es un polinomio de cuarto grado homogéneo con respecto a $a$ y $b$, intentaremos el método de Aspa Doble Especial o buscaremos factores mediante la inspección de coeficientes.

2. Descomposición por términos extremos:
Intentamos descomponer el polinomio en el producto de dos trinomios de segundo grado de la forma $(a^2 + k_1 ab + k_2 b^2)(a^2 + k_3 ab + k_4 b^2)$.
Probamos con los coeficientes:
$$ \begin{array}{rcl} (a^2 + 3ab + b^2)(a^2 - ab - b^2) & = & a^2(a^2 - ab - b^2) + 3ab(a^2 - ab - b^2) + b^2(a^2 - ab - b^2) \\ & = & (a^4 - a^3b - a^2b^2) + (3a^3b - 3a^2b^2 - 3ab^3) + (a^2b^2 - ab^3 - b^4) \\ & = & a^4 + (-1 + 3)a^3b + (-1 - 3 + 1)a^2b^2 + (-3 - 1)ab^3 - b^4 \\ & = & a^4 + 2a^3b - 3a^2b^2 - 4ab^3 - b^4 \end{array} $$

3. Verificación:

Resultado:
$$ \boxed{(a^2 + 3ab + b^2)(a^2 - ab - b^2)} $$