1. Identificación de la estructura:
Observamos que la expresión tiene la forma de una suma de cubos del tipo $x^3 + y^3 + z^3$. Definamos las siguientes variables para simplificar el cálculo:
$$ \begin{array}{l} x = a^2 + b^2 \\ y = -(b^2 + c^2) \\ z = -(a^2 - c^2) = c^2 - a^2 \end{array} $$

2. Aplicación de la identidad condicional:
Verificamos si la suma de estas nuevas variables es cero ($x + y + z = 0$):
$$ x + y + z = (a^2 + b^2) + (-b^2 - c^2) + (c^2 - a^2) $$
$$ x + y + z = a^2 + b^2 - b^2 - c^2 + c^2 - a^2 = 0 $$

Recordamos la identidad algebraica: si $x + y + z = 0$, entonces se cumple que:
$$ x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz $$

3. Sustitución y desarrollo:
Aplicamos la propiedad a nuestra expresión original:
$$ (a^2 + b^2)^3 + [-(b^2 + c^2)]^3 + [-(a^2 - c^2)]^3 = 3(a^2 + b^2)(-(b^2 + c^2))(-(a^2 - c^2)) $$
$$ = 3(a^2 + b^2)(b^2 + c^2)(a^2 - c^2) $$

4. Factorización final:
El término $(a^2 - c^2)$ es una diferencia de cuadrados que puede factorizarse más:
$$ a^2 - c^2 = (a - c)(a + c) $$

Por lo tanto, la expresión factorizada es:
$$ \boxed{3(a^2 + b^2)(b^2 + c^2)(a - c)(a + c)} $$