1. Datos del problema:
Se nos pide hallar el número de factores primos del polinomio de quinto grado $P_{(x)}$.

2. Fórmulas/Propiedades:

• Factorización por agrupación: Agrupar términos para encontrar un factor común.


• Aspa simple / Identidades: $x^2 - a^2 = (x - a)(x + a)$.


• Definición de factor primo: Es aquel factor que no se puede descomponer más en el campo de los números racionales.

3. Desarrollo paso a paso:

Paso 1: Agrupación de términos por pares.
Observamos que podemos agrupar de la siguiente manera:
$$P_{(x)} = (x^5 - 2x^4) - (13x^3 - 26x^2) + (36x - 72)$$

Extraemos el factor común de cada paréntesis:
$$P_{(x)} = x^4(x - 2) - 13x^2(x - 2) + 36(x - 2)$$

Paso 2: Factor común extraído.
Ahora el factor común es $(x - 2)$:
$$P_{(x)} = (x - 2)(x^4 - 13x^2 + 36)$$

Paso 3: Factorizar el trinomio de cuarto grado (Aspa simple).
Analizamos $x^4 - 13x^2 + 36$ como una ecuación bicuadrática:
$$x^4 - 13x^2 + 36 = (x^2 - 9)(x^2 - 4)$$
Puesto que $(-9) \cdot (-4) = 36$ y $(-9) + (-4) = -13$.

Paso 4: Aplicar diferencia de cuadrados.
Descomponemos los factores cuadráticos:

• $(x^2 - 9) = (x - 3)(x + 3)$


• $(x^2 - 4) = (x - 2)(x + 2)$

Sustituyendo en la expresión original:
$$P_{(x)} = (x - 2) \cdot (x - 3)(x + 3) \cdot (x - 2)(x + 2)$$
$$P_{(x)} = (x - 2)^2(x + 2)(x - 3)(x + 3)$$

Paso 5: Contar factores primos.
Los factores primos son las bases de las potencias:
1. $(x - 2)$
2. $(x + 2)$
3. $(x - 3)$
4. $(x + 3)$

4. Resultado final:
El polinomio tiene 4 factores primos. La respuesta correcta es la opción D.