1. Datos del problema: Polinomio $M_{(x)} = x^4 - (a^2 - 1)x^2 - a^2$. Se busca un factor que sea siempre positivo para todo $x$ real.
2. Fórmulas/Propiedades: Aspa simple para polinomios de cuarto grado con forma cuadrática.
3. Desarrollo paso a paso:

• Reescribimos el término central: $M_{(x)} = x^4 - a^2x^2 + x^2 - a^2$.


• Aplicamos aspa simple:

$$ \begin{array}{ccc} x^2 & \searrow \swarrow & 1 \\ x^2 & \nearrow \nwarrow & -a^2 \end{array} $$

• Verificamos: $x^2(-a^2) + x^2(1) = -a^2x^2 + x^2 = -(a^2 - 1)x^2$. Coincide con el término central.


• Factores: $M_{(x)} = (x^2 + 1)(x^2 - a^2)$.


• Descomponiendo la diferencia de cuadrados: $M_{(x)} = (x^2 + 1)(x + a)(x - a)$.


• Analizamos la condición $f_{(x)} \in \mathbb{R}^{+}$ para todo $x \in \mathbb{R}$:




• $(x + a)$ y $(x - a)$ pueden ser negativos o cero dependiendo de $x$.


• $x^2 + 1$ siempre es mayor o igual a 1 para cualquier $x$ real, por lo tanto, siempre es positivo.

4. Resultado final: El factor buscado es $f_{(x)} = x^2 + 1$. La respuesta es la E.