1. Datos y fórmulas:

• Suma de los $k$ primeros naturales: $S = \frac{k(k+1)}{2}$.


• Aquí $k = 2n$.

2. Desarrollo paso a paso:

• Factorizamos $Q_{(x)}$ por agrupación de términos:

$$Q_{(x)} = (2x^5 + x^4) - (10x^3 + 5x^2) + (8x + 4)$$

• Extraemos factores comunes en cada par:

$$Q_{(x)} = x^4(2x + 1) - 5x^2(2x + 1) + 4(2x + 1)$$

• Factorizamos el término común $(2x + 1)$:

$$Q_{(x)} = (2x + 1)(x^4 - 5x^2 + 4)$$

• Factorizamos el trinomio cuadrático (aspa simple sobre $x^2$):

$$x^4 - 5x^2 + 4 = (x^2 - 4)(x^2 - 1)$$

• Aplicamos diferencia de cuadrados:

$$Q_{(x)} = (2x + 1)(x + 2)(x - 2)(x + 1)(x - 1)$$

• Contamos los factores primos: $n = 5$.


• Calculamos el valor pedido para $2n = 10$:

$$S = 1 + 2 + 3 + \dots + 10 = \frac{10(11)}{2} = 55$$

3. Resultado final:
El valor de la suma es 55.