Ii
MATU • Algebra
MATU_FACT_062
Examen de admisión
Enunciado
Si 2 es raíz del polinomio $P_{(x)} = x^3 - 5x + a$, entonces determine su factor primo de mayor término independiente.
A) $f_{(x)} = x - 2$ B) $f_{(x)} = x - 4$ C) $f_{(x)} = x^2 - 2$ D) $f_{(x)} = x^2 - 2x - 1$ E) $f_{(x)} = x^2 + 2x - 1$
A) $f_{(x)} = x - 2$ B) $f_{(x)} = x - 4$ C) $f_{(x)} = x^2 - 2$ D) $f_{(x)} = x^2 - 2x - 1$ E) $f_{(x)} = x^2 + 2x - 1$
Solución Paso a Paso
1. Datos y fórmulas:
2. Desarrollo paso a paso:
$$P_{(2)} = 2^3 - 5(2) + a = 0 \implies 8 - 10 + a = 0 \implies a = 2$$
$$ \begin{array}{c|ccc|c} & 1 & 0 & -5 & 2 \\ 2 & & 2 & 4 & -2 \\ \hline & 1 & 2 & -1 & 0 \end{array} $$
1. $f_1(x) = x - 2$: Término independiente = $-2$.
2. $f_2(x) = x^2 + 2x - 1$: Término independiente = $-1$.
3. Resultado final:
El factor primo con el mayor término independiente es $x^2 + 2x - 1$.
- Si $r$ es raíz, entonces $P_{(r)} = 0$.
- Si $P_{(r)} = 0$, entonces $(x - r)$ es un factor.
2. Desarrollo paso a paso:
- Hallamos el valor de $a$:
$$P_{(2)} = 2^3 - 5(2) + a = 0 \implies 8 - 10 + a = 0 \implies a = 2$$
- El polinomio es $P_{(x)} = x^3 - 5x + 2$.
- Como $x = 2$ es raíz, dividimos por $(x - 2)$ usando Ruffini:
$$ \begin{array}{c|ccc|c} & 1 & 0 & -5 & 2 \\ 2 & & 2 & 4 & -2 \\ \hline & 1 & 2 & -1 & 0 \end{array} $$
- El cociente es $x^2 + 2x - 1$.
- $P_{(x)} = (x - 2)(x^2 + 2x - 1)$.
- Analizamos los factores primos:
1. $f_1(x) = x - 2$: Término independiente = $-2$.
2. $f_2(x) = x^2 + 2x - 1$: Término independiente = $-1$.
- Comparamos los términos independientes: $-1 > -2$.
3. Resultado final:
El factor primo con el mayor término independiente es $x^2 + 2x - 1$.