1. Análisis de cada polinomio:

• I) $x^2 - 6x + 24$: Calculamos el discriminante $\Delta = (-6)^2 - 4(1)(24) = 36 - 96 = -60$. Como el discriminante es negativo y no es un cuadrado perfecto, no tiene raíces reales ni se puede factorizar en $\mathbb{Z}$. Es primo.


• II) $x^4 + 4$: Es una identidad conocida (Sophie Germain).

$$x^4 + 4 = (x^2 + 2)^2 - 4x^2 = (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)$$
No es primo.

• III) $x^4 + x^2 + 1$: Se factoriza sumando y restando $x^2$.

$$x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = (x^2 + 1)^2 - x^2 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$$
No es primo.

• IV) $x^4 + 1$: Aunque no tiene raíces reales, es reducible sobre $\mathbb{R}$ y $\mathbb{Z}$ mediante completación de cuadrados:

$$x^4 + 1 = (x^2 + 1)^2 - 2x^2 = (x^2 + \sqrt{2}x + 1)(x^2 - \sqrt{2}x + 1)$$

2. Resultado final:
Solo el polinomio I es primo sobre $\mathbb{Z}$. Total: 1.