1. Datos del problema:

• Polinomio: $P_{(x)} = (x + 2)^2(x + 1)(x + 3) - 5x(x + 4) - 27$


• Objetivo: Contar el número de factores primos sobre $\mathbb{Z}$.

2. Desarrollo paso a paso:

• Primero, agrupamos los términos de forma estratégica para facilitar un cambio de variable. Multiplicamos los factores $(x + 1)$ y $(x + 3)$:

$$(x + 1)(x + 3) = x^2 + 4x + 3$$

• Expandimos el término cuadrático $(x + 2)^2$:

$$(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4$$

• Multiplicamos el término $-5x(x + 4)$:

$$-5x(x + 4) = -5(x^2 + 4x)$$

• Reemplazamos en el polinomio original:

$$P_{(x)} = (x^2 + 4x + 4)(x^2 + 4x + 3) - 5(x^2 + 4x) - 27$$

• Realizamos un cambio de variable: Sea $u = x^2 + 4x$.

$$P_{(u)} = (u + 4)(u + 3) - 5u - 27$$
$$P_{(u)} = u^2 + 7u + 12 - 5u - 27$$
$$P_{(u)} = u^2 + 2u - 15$$

• Factorizamos la expresión cuadrática en $u$ mediante aspa simple:

$$P_{(u)} = (u + 5)(u - 3)$$

• Volvemos a la variable original $x$:

$$P_{(x)} = (x^2 + 4x + 5)(x^2 + 4x - 3)$$

• Analizamos si los factores cuadráticos son reducibles sobre $\mathbb{Z}$:




• Para $x^2 + 4x + 5$: El discriminante es $\Delta = 4^2 - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4$. Es primo.


• Para $x^2 + 4x - 3$: El discriminante es $\Delta = 4^2 - 4(1)(-3) = 16 + 12 = 28$. Al no ser un cuadrado perfecto, es primo sobre $\mathbb{Z}$.

3. Resultado final:
El polinomio tiene 2 factores primos.