Ii
MATU • Algebra
MATU_FACT_054
Examen de admisión
Enunciado
Determine el factor primo de mayor grado que presenta el polinomio
$$F_{(x)} = x^4+3x^3-5x^2-13x+6$$
A) $f_{(x)} = x^2+4x+1$ B) $f_{(x)} = x^2-3x+1$ \\
C) $f_{(x)} = x^2+2x-1$ D) $f_{(x)} = x^2-2x-1$ \\
E) $f_{(x)} = x^2-3x-1$
$$F_{(x)} = x^4+3x^3-5x^2-13x+6$$
A) $f_{(x)} = x^2+4x+1$ B) $f_{(x)} = x^2-3x+1$ \\
C) $f_{(x)} = x^2+2x-1$ D) $f_{(x)} = x^2-2x-1$ \\
E) $f_{(x)} = x^2-3x-1$
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
Polinomio de cuarto grado. Se busca el factor primo de mayor grado.
2. Fórmulas/Propiedades:
3. Desarrollo paso a paso:
Aplicamos Ruffini con estas raíces:
$$ \begin{array}{c|rrrrr} & 1 & 3 & -5 & -13 & 6 \\ 2 & & 2 & 10 & 10 & -6 \\ \hline & 1 & 5 & 5 & -3 & 0 \\ -3 & & -3 & -6 & 3 & \\ \hline & 1 & 2 & -1 & 0 & \end{array} $$
El cociente restante es $x^2 + 2x - 1$, el cual es un factor cuadrático irreducible sobre $\mathbb{Z}$.
La factorización es: $F_{(x)} = (x-2)(x+3)(x^2+2x-1)$.
Los factores primos son $(x-2)$, $(x+3)$ y $(x^2+2x-1)$.
4. Resultado final:
El factor de mayor grado es $x^2+2x-1$. Respuesta: C.
Polinomio de cuarto grado. Se busca el factor primo de mayor grado.
2. Fórmulas/Propiedades:
- Regla de Ruffini.
3. Desarrollo paso a paso:
- Para $x=2$: $F_{(2)} = 2^4 + 3(2^3) - 5(2^2) - 13(2) + 6 = 16 + 24 - 20 - 26 + 6 = 0$. Es raíz.
- Para $x=-3$: $F_{(-3)} = (-3)^4 + 3(-3)^3 - 5(-3)^2 - 13(-3) + 6 = 81 - 81 - 45 + 39 + 6 = 0$. Es raíz.
Aplicamos Ruffini con estas raíces:
$$ \begin{array}{c|rrrrr} & 1 & 3 & -5 & -13 & 6 \\ 2 & & 2 & 10 & 10 & -6 \\ \hline & 1 & 5 & 5 & -3 & 0 \\ -3 & & -3 & -6 & 3 & \\ \hline & 1 & 2 & -1 & 0 & \end{array} $$
El cociente restante es $x^2 + 2x - 1$, el cual es un factor cuadrático irreducible sobre $\mathbb{Z}$.
La factorización es: $F_{(x)} = (x-2)(x+3)(x^2+2x-1)$.
Los factores primos son $(x-2)$, $(x+3)$ y $(x^2+2x-1)$.
4. Resultado final:
El factor de mayor grado es $x^2+2x-1$. Respuesta: C.