Ii
MATU • Algebra
MATU_FACT_051
Propia (Inspirada)
Enunciado
Indique el número de factores primos racionales del siguiente polinomio:
$$T(x) = (x^2 - 4x)^2 - 2(x^2 - 4x) - 8$$
$$T(x) = (x^2 - 4x)^2 - 2(x^2 - 4x) - 8$$
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
Polinomio de cuarto grado con una expresión repetida.
3. Desarrollo paso a paso:
Sea $u = x^2 - 4x$. Sustituimos en el polinomio:
$$T(u) = u^2 - 2u - 8$$
Factorizamos el trinomio por aspa simple:
$$u^2 - 2u - 8 = (u - 4)(u + 2)$$
Devolvemos el cambio de variable:
$$T(x) = (x^2 - 4x - 4)(x^2 - 4x + 2)$$
Analizamos si los factores cuadráticos son factorizables en los racionales ($\mathbb{Q}$) calculando sus discriminantes ($\Delta = b^2 - 4ac$):
4. Resultado final:
El polinomio tiene 2 factores primos racionales.
Polinomio de cuarto grado con una expresión repetida.
Idea clave:
Realizaremos un cambio de variable para simplificar la expresión y luego factorizaremos por aspa simple.
Realizaremos un cambio de variable para simplificar la expresión y luego factorizaremos por aspa simple.
3. Desarrollo paso a paso:
Sea $u = x^2 - 4x$. Sustituimos en el polinomio:
$$T(u) = u^2 - 2u - 8$$
Factorizamos el trinomio por aspa simple:
$$u^2 - 2u - 8 = (u - 4)(u + 2)$$
Devolvemos el cambio de variable:
$$T(x) = (x^2 - 4x - 4)(x^2 - 4x + 2)$$
Analizamos si los factores cuadráticos son factorizables en los racionales ($\mathbb{Q}$) calculando sus discriminantes ($\Delta = b^2 - 4ac$):
- Para $(x^2 - 4x - 4)$: $\Delta_1 = (-4)^2 - 4(1)(-4) = 16 + 16 = 32$. No es un cuadrado perfecto, por lo tanto es primo en $\mathbb{Q}$.
- Para $(x^2 - 4x + 2)$: $\Delta_2 = (-4)^2 - 4(1)(2) = 16 - 8 = 8$. No es un cuadrado perfecto, por lo tanto es primo en $\mathbb{Q}$.
4. Resultado final:
El polinomio tiene 2 factores primos racionales.