Ii
MATU • Algebra
MATU_FACT_039
Guía de ejercicios preuniversitaria
Enunciado
El producto de dos expresiones es $(x^2 - 1)^2$ y el cociente de su m.c.m. y su M.C.D. es $(x - 1)^2$. Hallar el M.C.D.
a) $x^2 - 1$ b) $x^2 + 1$ c) $x - 1$ d) $x + 1$ e) $(x + 1)^2$
a) $x^2 - 1$ b) $x^2 + 1$ c) $x - 1$ d) $x + 1$ e) $(x + 1)^2$
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
2. Fórmulas/Propiedades:
3. Desarrollo paso a paso:
De la propiedad del cociente, podemos despejar el $m.c.m.$:
$$m.c.m. = M.C.D. \cdot (x - 1)^2$$
Sustituimos esta expresión en la propiedad fundamental del producto:
$$M.C.D. \cdot [M.C.D. \cdot (x - 1)^2] = (x^2 - 1)^2$$
$$(M.C.D.)^2 \cdot (x - 1)^2 = (x^2 - 1)^2$$
Recordamos la diferencia de cuadrados: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$. Entonces:
$$(x^2 - 1)^2 = [(x - 1)(x + 1)]^2 = (x - 1)^2(x + 1)^2$$
Sustituyendo en nuestra ecuación:
$$(M.C.D.)^2 \cdot (x - 1)^2 = (x - 1)^2(x + 1)^2$$
$$(M.C.D.)^2 = (x + 1)^2$$
$$M.C.D. = x + 1$$
4. Resultado final:
El M.C.D. es $x + 1$.
Respuesta: d)
- Producto de las expresiones ($A \cdot B$): $(x^2 - 1)^2$
- Cociente $\frac{m.c.m.}{M.C.D.} = (x - 1)^2$
2. Fórmulas/Propiedades:
- Propiedad fundamental: $A \cdot B = M.C.D. \cdot m.c.m.$
3. Desarrollo paso a paso:
De la propiedad del cociente, podemos despejar el $m.c.m.$:
$$m.c.m. = M.C.D. \cdot (x - 1)^2$$
Sustituimos esta expresión en la propiedad fundamental del producto:
$$M.C.D. \cdot [M.C.D. \cdot (x - 1)^2] = (x^2 - 1)^2$$
$$(M.C.D.)^2 \cdot (x - 1)^2 = (x^2 - 1)^2$$
Recordamos la diferencia de cuadrados: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$. Entonces:
$$(x^2 - 1)^2 = [(x - 1)(x + 1)]^2 = (x - 1)^2(x + 1)^2$$
Sustituyendo en nuestra ecuación:
$$(M.C.D.)^2 \cdot (x - 1)^2 = (x - 1)^2(x + 1)^2$$
$$(M.C.D.)^2 = (x + 1)^2$$
$$M.C.D. = x + 1$$
4. Resultado final:
El M.C.D. es $x + 1$.
Respuesta: d)