Ii
MATU • Algebra
MATU_FACT_037
Guía de ejercicios
Enunciado
Hallar el M.C.D. de los polinomios:
$$A = x^4 - 3x^3 - 10x^2 + 7x - 1$$
$$B = x^4 - 8x^3 + 17x^2 - 8x + 1$$
$$C = x^4 - 6x^2 + 6x - 1$$
a) $x^2 + 5x - 1$ b) $x^2 - 5x + 1$ c) $x - 1$ d) $x + 1$ e) $x^2 - x + 1$
$$A = x^4 - 3x^3 - 10x^2 + 7x - 1$$
$$B = x^4 - 8x^3 + 17x^2 - 8x + 1$$
$$C = x^4 - 6x^2 + 6x - 1$$
a) $x^2 + 5x - 1$ b) $x^2 - 5x + 1$ c) $x - 1$ d) $x + 1$ e) $x^2 - x + 1$
Solución Paso a Paso
1. Factorización de $B$:
Como se vio en el Ejercicio 1, $B$ es un polinomio recíproco:
$$B = (x^2 - 5x + 1)(x^2 - 3x + 1)$$
2. Factorización de $A$:
Probamos si $x^2 - 5x + 1$ es factor de $A$ mediante división:
$$(x^4 - 3x^3 - 10x^2 + 7x - 1) \div (x^2 - 5x + 1) = x^2 + 2x - 1$$
La división es exacta.
3. Factorización de $C$:
$$C = x^4 - 6x^2 + 6x - 1 = (x^4 - 1) - 6x(x - 1)$$
$$C = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) - 6x(x - 1)$$
$$C = (x - 1)(x^3 + x^2 - 5x + 1)$$
Resultado: El M.C.D. es $x^2 - 5x + 1$.
Respuesta correcta: b)
Como se vio en el Ejercicio 1, $B$ es un polinomio recíproco:
$$B = (x^2 - 5x + 1)(x^2 - 3x + 1)$$
2. Factorización de $A$:
Probamos si $x^2 - 5x + 1$ es factor de $A$ mediante división:
$$(x^4 - 3x^3 - 10x^2 + 7x - 1) \div (x^2 - 5x + 1) = x^2 + 2x - 1$$
La división es exacta.
3. Factorización de $C$:
$$C = x^4 - 6x^2 + 6x - 1 = (x^4 - 1) - 6x(x - 1)$$
$$C = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) - 6x(x - 1)$$
$$C = (x - 1)(x^3 + x^2 - 5x + 1)$$
Resultado: El M.C.D. es $x^2 - 5x + 1$.
Respuesta correcta: b)