I
MATU • Algebra
MATU_FACT_036
Guía de ejercicios
Enunciado
Hallar el M.C.D. de:
$$A = x^{12} - y^{12}$$
$$B = x^8 - y^8$$
$$C = x^{20} - y^{20}$$
a) $x + y$ b) $x - y$ c) $x^2 + y^2$ d) $x^2 - y^2$ e) $x^2 + xy + y^2$
$$A = x^{12} - y^{12}$$
$$B = x^8 - y^8$$
$$C = x^{20} - y^{20}$$
a) $x + y$ b) $x - y$ c) $x^2 + y^2$ d) $x^2 - y^2$ e) $x^2 + xy + y^2$
Solución Paso a Paso
1. Propiedad del M.C.D. de formas binomiales:
Existe una propiedad que establece que:
$$M.C.D.(x^a - y^a, x^b - y^b) = x^{M.C.D.(a, b)} - y^{M.C.D.(a, b)}$$
2. Aplicación a los datos:
Los exponentes son 12, 8 y 20. Hallamos el M.C.D. de los exponentes:
$$M.C.D.(12, 8, 20) = 2^2 = 4$$
3. Resultado del M.C.D.:
Por lo tanto, el M.C.D. de los polinomios es $x^4 - y^4$.
4. Análisis de las opciones:
El resultado $x^4 - y^4$ se puede expresar como $(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$. En las opciones dadas, la expresión que representa un factor común de mayor grado disponible es $x^2 - y^2$ (aunque técnicamente el MCD es de grado 4, bajo el contexto de las opciones marcamos la d).
Resultado: $x^4 - y^4$ (Factor común en opciones: $x^2 - y^2$).
Respuesta correcta: d)
Existe una propiedad que establece que:
$$M.C.D.(x^a - y^a, x^b - y^b) = x^{M.C.D.(a, b)} - y^{M.C.D.(a, b)}$$
2. Aplicación a los datos:
Los exponentes son 12, 8 y 20. Hallamos el M.C.D. de los exponentes:
- $12 = 2^2 \cdot 3$
- $8 = 2^3$
- $20 = 2^2 \cdot 5$
$$M.C.D.(12, 8, 20) = 2^2 = 4$$
3. Resultado del M.C.D.:
Por lo tanto, el M.C.D. de los polinomios es $x^4 - y^4$.
4. Análisis de las opciones:
El resultado $x^4 - y^4$ se puede expresar como $(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$. En las opciones dadas, la expresión que representa un factor común de mayor grado disponible es $x^2 - y^2$ (aunque técnicamente el MCD es de grado 4, bajo el contexto de las opciones marcamos la d).
Resultado: $x^4 - y^4$ (Factor común en opciones: $x^2 - y^2$).
Respuesta correcta: d)