Ii
MATU • Algebra
MATU_FACT_035
Guía de ejercicios
Enunciado
Hallar el M.C.D. de:
$$A = x^5 + x + 1$$
$$B = x^8 + x^4 + 1$$
$$C = x^6 - 1$$
a) $x^2 - x + 1$ b) $x^2 + x - 1$ c) $x^2 - x - 1$ d) $x^2 + x + 1$ e) $x^3 + x + 1$
$$A = x^5 + x + 1$$
$$B = x^8 + x^4 + 1$$
$$C = x^6 - 1$$
a) $x^2 - x + 1$ b) $x^2 + x - 1$ c) $x^2 - x - 1$ d) $x^2 + x + 1$ e) $x^3 + x + 1$
Solución Paso a Paso
1. Factorización de cada polinomio:
$A = x^5 - x^2 + x^2 + x + 1 = x^2(x^3 - 1) + (x^2 + x + 1)$
$A = x^2(x - 1)(x^2 + x + 1) + (x^2 + x + 1) = (x^2 + x + 1)(x^3 - x^2 + 1)$
$B = (x^8 + 2x^4 + 1) - x^4 = (x^4 + 1)^2 - (x^2)^2$
$B = (x^4 + x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)$
Factorizando $x^4 + x^2 + 1$ nuevamente:
$B = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)(x^4 - x^2 + 1)$
$C = (x^3 - 1)(x^3 + 1) = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1)$
2. Identificación del M.C.D.:
El factor común presente en los tres polinomios es $(x^2 + x + 1)$.
Resultado: El M.C.D. es $x^2 + x + 1$.
Respuesta correcta: d)
- Para $A$: Es un producto notable conocido:
$A = x^5 - x^2 + x^2 + x + 1 = x^2(x^3 - 1) + (x^2 + x + 1)$
$A = x^2(x - 1)(x^2 + x + 1) + (x^2 + x + 1) = (x^2 + x + 1)(x^3 - x^2 + 1)$
- Para $B$: Aplicamos quita y pon (completar cuadrados):
$B = (x^8 + 2x^4 + 1) - x^4 = (x^4 + 1)^2 - (x^2)^2$
$B = (x^4 + x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)$
Factorizando $x^4 + x^2 + 1$ nuevamente:
$B = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)(x^4 - x^2 + 1)$
- Para $C$: Diferencia de cuadrados y cubos:
$C = (x^3 - 1)(x^3 + 1) = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1)$
2. Identificación del M.C.D.:
El factor común presente en los tres polinomios es $(x^2 + x + 1)$.
Resultado: El M.C.D. es $x^2 + x + 1$.
Respuesta correcta: d)