Ii
MATU • Algebra
MATU_FACT_034
Guía de ejercicios
Enunciado
Hallar el M.C.D. de:
$$A = x^5 + 3x^4 + 6x^3 + 4x^2 + 8x + 5$$
$$B = x^4 + 2x^3 + 3x^2 - 2x + 5$$
a) $x^2 + x + 5$ b) $x^2 - 3x + 5$ c) $x^2 + 3x + 5$ d) $x^3 + x + 1$ e) $x^2 - x + 1$
$$A = x^5 + 3x^4 + 6x^3 + 4x^2 + 8x + 5$$
$$B = x^4 + 2x^3 + 3x^2 - 2x + 5$$
a) $x^2 + x + 5$ b) $x^2 - 3x + 5$ c) $x^2 + 3x + 5$ d) $x^3 + x + 1$ e) $x^2 - x + 1$
Solución Paso a Paso
1. Aplicación del Algoritmo de Euclides (o resta de polinomios):
Restamos $x \cdot B$ de $A$ para reducir el grado:
$$R_1 = A - xB = (x^5 + 3x^4 + 6x^3 + 4x^2 + 8x + 5) - (x^5 + 2x^4 + 3x^3 - 2x^2 + 5x)$$
$$R_1 = x^4 + 3x^3 + 6x^2 + 3x + 5$$
Ahora restamos $B$ de $R_1$:
$$R_2 = R_1 - B = (x^4 + 3x^3 + 6x^2 + 3x + 5) - (x^4 + 2x^3 + 3x^2 - 2x + 5)$$
$$R_2 = x^3 + 3x^2 + 5x = x(x^2 + 3x + 5)$$
2. Análisis del factor común:
Como $x$ no es divisor de $B$ (el término independiente de $B$ es 5), el M.C.D. debe ser un divisor de $x^2 + 3x + 5$. Verificamos si $x^2 + 3x + 5$ divide a $B$:
Como la división es exacta, el M.C.D. es $x^2 + 3x + 5$.
Resultado: El M.C.D. es $x^2 + 3x + 5$.
Respuesta correcta: c)
Restamos $x \cdot B$ de $A$ para reducir el grado:
$$R_1 = A - xB = (x^5 + 3x^4 + 6x^3 + 4x^2 + 8x + 5) - (x^5 + 2x^4 + 3x^3 - 2x^2 + 5x)$$
$$R_1 = x^4 + 3x^3 + 6x^2 + 3x + 5$$
Ahora restamos $B$ de $R_1$:
$$R_2 = R_1 - B = (x^4 + 3x^3 + 6x^2 + 3x + 5) - (x^4 + 2x^3 + 3x^2 - 2x + 5)$$
$$R_2 = x^3 + 3x^2 + 5x = x(x^2 + 3x + 5)$$
2. Análisis del factor común:
Como $x$ no es divisor de $B$ (el término independiente de $B$ es 5), el M.C.D. debe ser un divisor de $x^2 + 3x + 5$. Verificamos si $x^2 + 3x + 5$ divide a $B$:
- $B = (x^2 - x + 1)(x^2 + 3x + 5) + 0$ (mediante división de polinomios).
Como la división es exacta, el M.C.D. es $x^2 + 3x + 5$.
Resultado: El M.C.D. es $x^2 + 3x + 5$.
Respuesta correcta: c)