Ii
MATU • Algebra
MATU_FACT_033
Guía de ejercicios
Enunciado
Hallar el M.C.D. de los polinomios:
$$A = 2x^4 + 3x^3 - 13x^2 + 13x - 21$$
$$B = 2x^3 - 5x^2 + 5x - 6$$
a) $x^2 + x - 3$ b) $x^2 - x + 3$ c) $2x^2 + x + 3$ d) $2x^2 - x + 3$ e) $2x^2 + 2x + 3$
$$A = 2x^4 + 3x^3 - 13x^2 + 13x - 21$$
$$B = 2x^3 - 5x^2 + 5x - 6$$
a) $x^2 + x - 3$ b) $x^2 - x + 3$ c) $2x^2 + x + 3$ d) $2x^2 - x + 3$ e) $2x^2 + 2x + 3$
Solución Paso a Paso
1. Factorización de $B$:
Probamos con divisores del término independiente ($-6$):
Para $x = 2$: $B(2) = 2(8) - 5(4) + 5(2) - 6 = 16 - 20 + 10 - 6 = 0$.
Luego, $(x-2)$ es un factor. Aplicando Ruffini:
$$B = (x - 2)(2x^2 - x + 3)$$
2. Verificación en $A$:
Comprobamos si $2x^2 - x + 3$ divide a $A$ mediante división larga:
$$\frac{2x^4 + 3x^3 - 13x^2 + 13x - 21}{2x^2 - x + 3}$$
La división es exacta, por lo tanto $2x^2 - x + 3$ es el factor común de mayor grado.
Resultado: El M.C.D. es $2x^2 - x + 3$.
Respuesta correcta: d)
Probamos con divisores del término independiente ($-6$):
Para $x = 2$: $B(2) = 2(8) - 5(4) + 5(2) - 6 = 16 - 20 + 10 - 6 = 0$.
Luego, $(x-2)$ es un factor. Aplicando Ruffini:
$$B = (x - 2)(2x^2 - x + 3)$$
2. Verificación en $A$:
Comprobamos si $2x^2 - x + 3$ divide a $A$ mediante división larga:
$$\frac{2x^4 + 3x^3 - 13x^2 + 13x - 21}{2x^2 - x + 3}$$
- $(2x^4) / (2x^2) = x^2$. Multiplicamos y restamos: $(2x^4 + 3x^3 - 13x^2) - (2x^4 - x^3 + 3x^2) = 4x^3 - 16x^2$.
- $(4x^3) / (2x^2) = 2x$. Multiplicamos y restamos: $(4x^3 - 16x^2 + 13x) - (4x^3 - 2x^2 + 6x) = -14x^2 + 7x$.
- $(-14x^2) / (2x^2) = -7$. Multiplicamos y restamos: $(-14x^2 + 7x - 21) - (-14x^2 + 7x - 21) = 0$.
La división es exacta, por lo tanto $2x^2 - x + 3$ es el factor común de mayor grado.
Resultado: El M.C.D. es $2x^2 - x + 3$.
Respuesta correcta: d)