Ii
MATU • Algebra
MATU_FACT_031
Guía de ejercicios
Enunciado
Marcar un factor en:
$$a^3(b + c) - c^2(a^2 + b^2) + ab^2(a + b + c) + b^4$$
a) $a + b$ b) $a^2 + c^2$ c) $a + b + c$ d) $a + b - c$ e) $a + c$
$$a^3(b + c) - c^2(a^2 + b^2) + ab^2(a + b + c) + b^4$$
a) $a + b$ b) $a^2 + c^2$ c) $a + b + c$ d) $a + b - c$ e) $a + c$
Solución Paso a Paso
1. Desarrollo paso a paso:
$$a^3b + a^3c - a^2c^2 - b^2c^2 + a^2b^2 + ab^3 + ab^2c + b^4$$
$$a^3b + ab^3 \rightarrow ab(a^2 + b^2)$$
$$a^3c + ab^2c \rightarrow ac(a^2 + b^2)$$
$$a^2b^2 + b^4 \rightarrow b^2(a^2 + b^2)$$
$$-a^2c^2 - b^2c^2 \rightarrow -c^2(a^2 + b^2)$$
$$(a^2 + b^2) [ ab + ac + b^2 - c^2 ]$$
$$ab + ac + b^2 - c^2 = a(b + c) + (b - c)(b + c)$$
$$= (b + c) [ a + b - c ]$$
$$(a^2 + b^2)(b + c)(a + b - c)$$
2. Resultado final:
Uno de los factores es $a + b - c$. (Opción d)
- Paso 1: Expandimos y reorganizamos los términos para agrupar convenientemente:
$$a^3b + a^3c - a^2c^2 - b^2c^2 + a^2b^2 + ab^3 + ab^2c + b^4$$
- Paso 2: Agrupamos términos con $(a^2 + b^2)$:
$$a^3b + ab^3 \rightarrow ab(a^2 + b^2)$$
$$a^3c + ab^2c \rightarrow ac(a^2 + b^2)$$
$$a^2b^2 + b^4 \rightarrow b^2(a^2 + b^2)$$
$$-a^2c^2 - b^2c^2 \rightarrow -c^2(a^2 + b^2)$$
- Paso 3: Factorizamos el término común $(a^2 + b^2)$:
$$(a^2 + b^2) [ ab + ac + b^2 - c^2 ]$$
- Paso 4: Factorizamos el interior del corchete:
$$ab + ac + b^2 - c^2 = a(b + c) + (b - c)(b + c)$$
$$= (b + c) [ a + b - c ]$$
- Paso 5: Expresión final factorizada:
$$(a^2 + b^2)(b + c)(a + b - c)$$
2. Resultado final:
Uno de los factores es $a + b - c$. (Opción d)