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MATU • Algebra
MATU_FACT_026
Guía de ejercicios
Enunciado
Calcular el número de factores de:
$$(x - a)^3(b - c)^3 + (x - b)^3(c - a)^3 + (x - c)^3(a - b)^3$$
a) 1 b) 6 c) -1 d) 3 e) 0
$$(x - a)^3(b - c)^3 + (x - b)^3(c - a)^3 + (x - c)^3(a - b)^3$$
a) 1 b) 6 c) -1 d) 3 e) 0
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
La expresión es una suma de cubos. Definamos las siguientes variables:
2. Fórmulas/Propiedades:
3. Desarrollo paso a paso:
$$X + Y + Z = (xb - xc - ab + ac) + (xc - xa - bc + ba) + (xa - xb - ca + cb)$$
Al simplificar los términos:
$$X + Y + Z = 0$$
$$X^3 + Y^3 + Z^3 = 3(x - a)(b - c)(x - b)(c - a)(x - c)(a - b)$$
Los factores son: $3, (x - a), (b - c), (x - b), (c - a), (x - c), (a - b)$.
Como se trata de factores algebraicos distintos, contamos un total de 6 factores.
4. Resultado final:
El número de factores es 6. (Opción b)
La expresión es una suma de cubos. Definamos las siguientes variables:
- $X = (x - a)(b - c)$
- $Y = (x - b)(c - a)$
- $Z = (x - c)(a - b)$
2. Fórmulas/Propiedades:
- Identidad condicional: Si $X + Y + Z = 0$, entonces $X^3 + Y^3 + Z^3 = 3XYZ$.
3. Desarrollo paso a paso:
- Paso 1: Verificamos si la suma de las bases es cero:
$$X + Y + Z = (xb - xc - ab + ac) + (xc - xa - bc + ba) + (xa - xb - ca + cb)$$
Al simplificar los términos:
$$X + Y + Z = 0$$
- Paso 2: Aplicamos la identidad condicional:
$$X^3 + Y^3 + Z^3 = 3(x - a)(b - c)(x - b)(c - a)(x - c)(a - b)$$
- Paso 3: Identificamos los factores primos (lineales) en la expresión resultante:
Los factores son: $3, (x - a), (b - c), (x - b), (c - a), (x - c), (a - b)$.
Como se trata de factores algebraicos distintos, contamos un total de 6 factores.
4. Resultado final:
El número de factores es 6. (Opción b)