Ii
MATU • Algebra
MATU_FACT_025
Examen de Admisión
Enunciado
Reconocer la suma de los factores de la expresión:
$$(x^2 - z^2 + y^2 + 2xy + 1)^2 - 4(x+y)^2$$
a) $3(x+y+z)$ b) $4(x+y)$ c) $x+y+z$ d) $x+y-z$ e) $x+y+1$
$$(x^2 - z^2 + y^2 + 2xy + 1)^2 - 4(x+y)^2$$
a) $3(x+y+z)$ b) $4(x+y)$ c) $x+y+z$ d) $x+y-z$ e) $x+y+1$
Solución Paso a Paso
1. Identificación de términos:
Notamos que $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$. Sea $u = x+y$.
$$E = (u^2 - z^2 + 1)^2 - (2u)^2$$
2. Diferencia de cuadrados:
$$E = (u^2 - z^2 + 1 - 2u)(u^2 - z^2 + 1 + 2u)$$
$$E = ((u-1)^2 - z^2)((u+1)^2 - z^2)$$
Factorizando nuevamente:
$$E = (u-1-z)(u-1+z)(u+1-z)(u+1+z)$$
3. Suma de factores:
Sustituyendo $u = x+y$:
$$S = (x+y-z-1) + (x+y+z-1) + (x+y-z+1) + (x+y+z+1)$$
$$S = 4x + 4y = 4(x+y)$$
Respuesta: b) $4(x+y)$
Notamos que $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$. Sea $u = x+y$.
$$E = (u^2 - z^2 + 1)^2 - (2u)^2$$
2. Diferencia de cuadrados:
$$E = (u^2 - z^2 + 1 - 2u)(u^2 - z^2 + 1 + 2u)$$
$$E = ((u-1)^2 - z^2)((u+1)^2 - z^2)$$
Factorizando nuevamente:
$$E = (u-1-z)(u-1+z)(u+1-z)(u+1+z)$$
3. Suma de factores:
Sustituyendo $u = x+y$:
$$S = (x+y-z-1) + (x+y+z-1) + (x+y-z+1) + (x+y+z+1)$$
$$S = 4x + 4y = 4(x+y)$$
Respuesta: b) $4(x+y)$