Ii
MATU • Algebra
MATU_FACT_023
Examen de Admisión
Enunciado
Calcular el grado de uno de los factores de:
$$x^{17} + x^2 + 2x + 2$$
a) 3 b) 15 c) 7 d) 5 e) 4
$$x^{17} + x^2 + 2x + 2$$
a) 3 b) 15 c) 7 d) 5 e) 4
Solución Paso a Paso
1. Análisis de la expresión:
$x^{17} + x^2 + 2(x+1)$
Agrupamos buscando potencias de $x^3$:
$$E = (x^{17} - x^2) + 2x^2 + 2x + 2$$
$$E = x^2(x^{15} - 1) + 2(x^2 + x + 1)$$
2. Factorización:
Sabemos que $x^{15}-1$ es divisible por $x^3-1$, y $x^3-1$ es divisible por $x^2+x+1$.
Por lo tanto, $(x^2+x+1)$ es un factor común.
$$E = (x^2+x+1) [x^2(x-1)(x^{12} + x^9 + \dots + 1) + 2]$$
3. Grado del factor restante:
El grado del factor original es 17. Al extraer un factor de grado 2, el otro factor tendrá grado:
$$17 - 2 = 15$$
Respuesta: b) 15
$x^{17} + x^2 + 2(x+1)$
Agrupamos buscando potencias de $x^3$:
$$E = (x^{17} - x^2) + 2x^2 + 2x + 2$$
$$E = x^2(x^{15} - 1) + 2(x^2 + x + 1)$$
2. Factorización:
Sabemos que $x^{15}-1$ es divisible por $x^3-1$, y $x^3-1$ es divisible por $x^2+x+1$.
Por lo tanto, $(x^2+x+1)$ es un factor común.
$$E = (x^2+x+1) [x^2(x-1)(x^{12} + x^9 + \dots + 1) + 2]$$
3. Grado del factor restante:
El grado del factor original es 17. Al extraer un factor de grado 2, el otro factor tendrá grado:
$$17 - 2 = 15$$
Respuesta: b) 15