I
MATU • Algebra
MATU_FACT_022
Examen de Admisión
Enunciado
Calcular la suma de los coeficientes de un factor de:
$$m(m^2 + mn - 1) - n(n^2 + mn - 1)$$
a) 3 b) -1 c) 2 d) -2 e) -3
$$m(m^2 + mn - 1) - n(n^2 + mn - 1)$$
a) 3 b) -1 c) 2 d) -2 e) -3
Solución Paso a Paso
1. Expansión:
$$m^3 + m^2n - m - n^3 - n^2m + n$$
2. Agrupación por términos semejantes:
$$(m^3 - n^3) + (m^2n - n^2m) - (m - n)$$
$$(m-n)(m^2+mn+n^2) + mn(m-n) - (m-n)$$
3. Factor común $(m-n)$:
$$(m-n) [m^2+mn+n^2 + mn - 1]$$
$$(m-n) [ (m+n)^2 - 1 ]$$
$$(m-n)(m+n-1)(m+n+1)$$
4. Suma de coeficientes:
Respuesta: a) 3
$$m^3 + m^2n - m - n^3 - n^2m + n$$
2. Agrupación por términos semejantes:
$$(m^3 - n^3) + (m^2n - n^2m) - (m - n)$$
$$(m-n)(m^2+mn+n^2) + mn(m-n) - (m-n)$$
3. Factor común $(m-n)$:
$$(m-n) [m^2+mn+n^2 + mn - 1]$$
$$(m-n) [ (m+n)^2 - 1 ]$$
$$(m-n)(m+n-1)(m+n+1)$$
4. Suma de coeficientes:
- Factor $(m-n) \to 1-1 = 0$
- Factor $(m+n-1) \to 1+1-1 = 1$
- Factor $(m+n+1) \to 1+1+1 = 3$
Respuesta: a) 3