Ii
MATU • Algebra
MATU_FACT_020
Examen de Admisión
Enunciado
Calcular el número de factores de:
$$x^6(y^3 - z^3) + y^6(z^3 - x^3) + z^6(x^3 - y^3)$$
a) 9 b) 6 c) 3 d) 4 e) 5
$$x^6(y^3 - z^3) + y^6(z^3 - x^3) + z^6(x^3 - y^3)$$
a) 9 b) 6 c) 3 d) 4 e) 5
Solución Paso a Paso
1. Cambio de variable:
Sea $a=x^3, b=y^3, c=z^3$. La expresión es:
$$E = a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$$
2. Factorización cíclica:
Esta es una identidad conocida de polinomios cíclicos:
$$E = -(a-b)(b-c)(c-a)$$
3. Sustitución original:
$$E = -(x^3-y^3)(y^3-z^3)(z^3-x^3)$$
Factorizamos cada diferencia de cubos:
$$E = -(x-y)(x^2+xy+y^2)(y-z)(y^2+yz+z^2)(z-x)(z^2+zx+x^2)$$
4. Conteo:
Existen 3 factores lineales y 3 factores cuadráticos irreducibles.
Total = $3 + 3 = 6$ factores.
Respuesta: b) 6
Sea $a=x^3, b=y^3, c=z^3$. La expresión es:
$$E = a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$$
2. Factorización cíclica:
Esta es una identidad conocida de polinomios cíclicos:
$$E = -(a-b)(b-c)(c-a)$$
3. Sustitución original:
$$E = -(x^3-y^3)(y^3-z^3)(z^3-x^3)$$
Factorizamos cada diferencia de cubos:
$$E = -(x-y)(x^2+xy+y^2)(y-z)(y^2+yz+z^2)(z-x)(z^2+zx+x^2)$$
4. Conteo:
Existen 3 factores lineales y 3 factores cuadráticos irreducibles.
Total = $3 + 3 = 6$ factores.
Respuesta: b) 6