Ii
MATU • Algebra
MATU_FACT_019
Examen de Admisión
Enunciado
Calcular la suma de los coeficientes de un factor de:
$$4(2x+1)(x+1)(2x+3)(x+2) - 3$$
a) 23 b) 20 c) 14 d) 2 e) 4
$$4(2x+1)(x+1)(2x+3)(x+2) - 3$$
a) 23 b) 20 c) 14 d) 2 e) 4
Solución Paso a Paso
1. Reorganización:
Multiplicamos el factor $4$ por los términos lineales $(x+1)$ y $(x+2)$ para igualar coeficientes de $x$:
$$P(x) = (2x+1)(2x+2)(2x+3)(2x+4) - 3$$
2. Cambio de variable:
Sea $u = 2x$. Entonces:
$$P(u) = (u+1)(u+2)(u+3)(u+4) - 3$$
Agrupamos $(u+1)(u+4)$ y $(u+2)(u+3)$:
$$P(u) = (u^2+5u+4)(u^2+5u+6) - 3$$
Sea $v = u^2+5u+5$:
$$P(v) = (v-1)(v+1) - 3 = v^2 - 1 - 3 = v^2 - 4$$
Factorizamos como diferencia de cuadrados: $(v-2)(v+2)$.
3. Retorno a la variable $x$:
4. Suma de coeficientes:
Evaluamos en $x=1$ para cada factor:
Multiplicamos el factor $4$ por los términos lineales $(x+1)$ y $(x+2)$ para igualar coeficientes de $x$:
$$P(x) = (2x+1)(2x+2)(2x+3)(2x+4) - 3$$
2. Cambio de variable:
Sea $u = 2x$. Entonces:
$$P(u) = (u+1)(u+2)(u+3)(u+4) - 3$$
Agrupamos $(u+1)(u+4)$ y $(u+2)(u+3)$:
$$P(u) = (u^2+5u+4)(u^2+5u+6) - 3$$
Sea $v = u^2+5u+5$:
$$P(v) = (v-1)(v+1) - 3 = v^2 - 1 - 3 = v^2 - 4$$
Factorizamos como diferencia de cuadrados: $(v-2)(v+2)$.
3. Retorno a la variable $x$:
- $v-2 = (2x)^2 + 5(2x) + 5 - 2 = 4x^2 + 10x + 3$
- $v+2 = (2x)^2 + 5(2x) + 5 + 2 = 4x^2 + 10x + 7$
4. Suma de coeficientes:
Evaluamos en $x=1$ para cada factor:
- Factor 1: $4(1)^2 + 10(1) + 3 = 17$
- Factor 2: $4(1)^2 + 10(1) + 7 = 21$