I
MATU • Algebra
MATU_FACT_015
Examen de Admisión
Enunciado
25. Calcular la suma de los coeficientes de un factor de:
$$x^3 + y^3 - 3xy + 1$$
a) -1 b) +1 c) 2 d) 0 e) -3
$$x^3 + y^3 - 3xy + 1$$
a) -1 b) +1 c) 2 d) 0 e) -3
Solución Paso a Paso
1. Propiedad:
Usamos la identidad de Gauss:
$$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$$
2. Aplicación:
Sea $a=x, b=y, c=1$.
$$x^3 + y^3 + 1^3 - 3xy(1) = (x + y + 1)(x^2 + y^2 + 1 - xy - x - y)$$
3. Suma de coeficientes:
Evaluamos en $x=1, y=1$:
4. Resultado final:
La suma de coeficientes de uno de los factores es 0.
Respuesta: d)
Usamos la identidad de Gauss:
$$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$$
2. Aplicación:
Sea $a=x, b=y, c=1$.
$$x^3 + y^3 + 1^3 - 3xy(1) = (x + y + 1)(x^2 + y^2 + 1 - xy - x - y)$$
3. Suma de coeficientes:
Evaluamos en $x=1, y=1$:
- Factor 1: $x + y + 1 \rightarrow 1 + 1 + 1 = 3$ (No está en opciones)
- Factor 2: $x^2 + y^2 + 1 - xy - x - y \rightarrow 1 + 1 + 1 - 1 - 1 - 1 = 0$
4. Resultado final:
La suma de coeficientes de uno de los factores es 0.
Respuesta: d)