1. Datos del problema:
Expresión: $P(x) = (x + 1)(x - 3)(x + 4)(x - 6) + 38$

2. Propiedades:
Agrupamos los binomios de tal forma que la suma de sus términos independientes sea igual para obtener un término común.
$(1) + (-6) = -5$
$(-3) + (4) = 1$ (No coincide)
Probamos: $(1) + (-3) = -2$ y $(4) + (-6) = -2$. ¡Coinciden!

3. Desarrollo:
Multiplicamos los pares seleccionados:
$$P(x) = [(x + 1)(x - 3)] \cdot [(x + 4)(x - 6)] + 38$$
$$P(x) = (x^2 - 2x - 3)(x^2 - 2x - 24) + 38$$

Hacemos un cambio de variable: $u = x^2 - 2x$.
$$P(u) = (u - 3)(u - 24) + 38$$
$$P(u) = u^2 - 27u + 72 + 38$$
$$P(u) = u^2 - 27u + 110$$

Factorizamos el trinomio por aspa simple:
$$u^2 - 27u + 110 = (u - 22)(u - 5)$$

Reponemos la variable original:
$$P(x) = (x^2 - 2x - 22)(x^2 - 2x - 5)$$

4. Resultado final:
Los términos independientes de los factores son $-22$ y $-5$. Buscando en las opciones, encontramos $-5$.
Respuesta: b)