Ii
MATU • Algebra
MATU_FACT_010
Guía de ejercicios
Enunciado
Calcular la suma de los coeficientes de un factor de:
$$x^{10} - 10x^6 + 24x^2 + 14x - 49$$
a) 2 b) 1 c) -2 d) -4 e) 0
$$x^{10} - 10x^6 + 24x^2 + 14x - 49$$
a) 2 b) 1 c) -2 d) -4 e) 0
Solución Paso a Paso
Idea clave:
Buscamos completar un cuadrado perfecto dentro de la expresión. Observamos los términos $x^{10}$, $x^6$ y $x^2$.
Buscamos completar un cuadrado perfecto dentro de la expresión. Observamos los términos $x^{10}$, $x^6$ y $x^2$.
Reescribimos $24x^2$ como $25x^2 - x^2$.
2. Desarrollo:
$$E = (x^{10} - 10x^6 + 25x^2) - (x^2 - 14x + 49)$$
$$E = (x^5 - 5x)^2 - (x - 7)^2$$
Aplicamos diferencia de cuadrados $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:
$$E = [(x^5 - 5x) - (x - 7)] \cdot [(x^5 - 5x) + (x - 7)]$$
$$E = (x^5 - 6x + 7)(x^5 - 4x - 7)$$
3. Cálculo de suma de coeficientes:
La suma de coeficientes de un factor se obtiene evaluando el factor en $x=1$.
- Factor 1: $1^5 - 6(1) + 7 = 1 - 6 + 7 = 2$
- Factor 2: $1^5 - 4(1) - 7 = 1 - 4 - 7 = -10$
4. Resultado:
El valor 2 aparece en las opciones.
Respuesta: a) 2