Ii
MATU • Algebra
MATU_FACT_007
Guía de ejercicios
Enunciado
Calcular el término independiente de uno de los factores de:
$$(x - 5)(x - 7)(x + 6)(x + 4) - 504$$
a) 9 b) 18 c) 6 d) 2 e) 12
$$(x - 5)(x - 7)(x + 6)(x + 4) - 504$$
a) 9 b) 18 c) 6 d) 2 e) 12
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
Expresión: $E = (x - 5)(x - 7)(x + 6)(x + 4) - 504$
3. Desarrollo:
Agrupamos y multiplicamos:
$$E = [(x - 5)(x + 4)] \cdot [(x - 7)(x + 6)] - 504$$
$$E = (x^2 - x - 20)(x^2 - x - 42) - 504$$
Realizamos el cambio de variable $y = x^2 - x$:
$$E = (y - 20)(y - 42) - 504$$
$$E = y^2 - 62y + 840 - 504$$
$$E = y^2 - 62y + 336$$
Factorizamos por aspa simple: $336 = 56 \times 6$ y $56 + 6 = 62$.
$$E = (y - 56)(y - 6)$$
Volvemos a la variable original $x$:
$$E = (x^2 - x - 56)(x^2 - x - 6)$$
Factorizamos cada término cuadrático:
Los factores lineales son: $(x - 8)$, $(x + 7)$, $(x - 3)$ y $(x + 2)$.
Los términos independientes de estos factores son: $-8, 7, -3, 2$.
4. Resultado final:
Al observar las opciones, el valor $2$ corresponde a la opción (d).
Respuesta: d) 2
Expresión: $E = (x - 5)(x - 7)(x + 6)(x + 4) - 504$
Idea clave:
Agruparemos los binomios de tal forma que al multiplicarlos obtengamos términos comunes para realizar un cambio de variable.
Observamos que $(-5) + 4 = -1$ y $(-7) + 6 = -1$.
Agruparemos los binomios de tal forma que al multiplicarlos obtengamos términos comunes para realizar un cambio de variable.
Observamos que $(-5) + 4 = -1$ y $(-7) + 6 = -1$.
3. Desarrollo:
Agrupamos y multiplicamos:
$$E = [(x - 5)(x + 4)] \cdot [(x - 7)(x + 6)] - 504$$
$$E = (x^2 - x - 20)(x^2 - x - 42) - 504$$
Realizamos el cambio de variable $y = x^2 - x$:
$$E = (y - 20)(y - 42) - 504$$
$$E = y^2 - 62y + 840 - 504$$
$$E = y^2 - 62y + 336$$
Factorizamos por aspa simple: $336 = 56 \times 6$ y $56 + 6 = 62$.
$$E = (y - 56)(y - 6)$$
Volvemos a la variable original $x$:
$$E = (x^2 - x - 56)(x^2 - x - 6)$$
Factorizamos cada término cuadrático:
- $x^2 - x - 56 = (x - 8)(x + 7)$
- $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$
Los factores lineales son: $(x - 8)$, $(x + 7)$, $(x - 3)$ y $(x + 2)$.
Los términos independientes de estos factores son: $-8, 7, -3, 2$.
4. Resultado final:
Al observar las opciones, el valor $2$ corresponde a la opción (d).
Respuesta: d) 2