I
MATU • Algebra
MATU_EXP_028
Examen de admisión
Enunciado
Resolver la ecuación: $5^{2x+1} - 3 \times 5^{2x-1} = 550$.
Y dar como respuesta el valor de $x^2$.
$$ \begin{array}{llll} \text{A) } 2 & \text{B) } 2,25 & \text{C) } 2,5 \\ \text{D) } 2,75 & \text{E) } 3,5 \end{array} $$
Y dar como respuesta el valor de $x^2$.
$$ \begin{array}{llll} \text{A) } 2 & \text{B) } 2,25 & \text{C) } 2,5 \\ \text{D) } 2,75 & \text{E) } 3,5 \end{array} $$
Solución Paso a Paso
Para resolver esta ecuación exponencial, buscaremos factorizar el término con la base común de menor exponente.
1. Descomposición de términos:
Usamos la propiedad $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
2. Factorización:
Reemplazamos en la ecuación original:
$$5^{2x-1} \cdot 5^2 - 3 \cdot 5^{2x-1} = 550$$
Factorizamos $5^{2x-1}$:
$$5^{2x-1} (5^2 - 3) = 550$$
$$5^{2x-1} (25 - 3) = 550$$
$$5^{2x-1} (22) = 550$$
3. Despeje de la base:
$$5^{2x-1} = \frac{550}{22}$$
$$5^{2x-1} = 25$$
4. Igualación de bases:
Como $25 = 5^2$:
$$5^{2x-1} = 5^2$$
Igualamos los exponentes:
$$2x - 1 = 2$$
$$2x = 3 \implies x = 1,5$$
5. Cálculo de la respuesta solicitada:
Se nos pide el valor de $x^2$:
$$x^2 = (1,5)^2 = 2,25$$
$$ \boxed{2,25} $$
1. Descomposición de términos:
Usamos la propiedad $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
- $5^{2x+1} = 5^{2x-1} \cdot 5^2$ (ya que $(2x-1) + 2 = 2x+1$)
2. Factorización:
Reemplazamos en la ecuación original:
$$5^{2x-1} \cdot 5^2 - 3 \cdot 5^{2x-1} = 550$$
Factorizamos $5^{2x-1}$:
$$5^{2x-1} (5^2 - 3) = 550$$
$$5^{2x-1} (25 - 3) = 550$$
$$5^{2x-1} (22) = 550$$
3. Despeje de la base:
$$5^{2x-1} = \frac{550}{22}$$
$$5^{2x-1} = 25$$
4. Igualación de bases:
Como $25 = 5^2$:
$$5^{2x-1} = 5^2$$
Igualamos los exponentes:
$$2x - 1 = 2$$
$$2x = 3 \implies x = 1,5$$
5. Cálculo de la respuesta solicitada:
Se nos pide el valor de $x^2$:
$$x^2 = (1,5)^2 = 2,25$$
$$ \boxed{2,25} $$