Para resolver este problema, aplicaremos la propiedad de los exponentes fraccionarios y las leyes de radicación. La propiedad fundamental es:
$$\sqrt[a]{x^b} = x^{\frac{b}{a}}$$

1. Análisis de los términos individuales:
Observemos el patrón de cada término en el producto:

• Primer término: $\sqrt[m]{x^{m^2}} = x^{\frac{m^2}{m}} = x^m$
• Segundo término: $\sqrt[m^2]{x^{m^3}} = x^{\frac{m^3}{m^2}} = x^m$
• Tercer término: $\sqrt[m^3]{x^{m^4}} = x^{\frac{m^4}{m^3}} = x^m$
• Término general $k$: $\sqrt[m^k]{x^{m^{k+1}}} = x^{\frac{m^{k+1}}{m^k}} = x^m$

2. Conteo de términos:
La expresión va desde el índice $m^1$ hasta el índice $m^n$. Por lo tanto, existen exactamente $n$ términos en el producto, y cada uno de ellos es igual a $x^m$.

3. Simplificación del producto:
Multiplicamos los $n$ términos iguales:
$$P = \underbrace{x^m \cdot x^m \cdot x^m \cdots x^m}_{n \text{ veces}}$$
$$P = (x^m)^n$$
$$P = x^{mn}$$

El exponente final de $x$ es $mn$.

$$ \boxed{mn} $$