I
MATU • Algebra
MATU_EXP_002
Práctica Preuniversitaria
Enunciado
Si $2^x = y$ y $2^y = x$; calcular el valor de:
$$ M = y^{\frac{1}{x}} \cdot x^{\frac{1}{y}} $$
$$ \begin{array}{lllll} \text{A) } 2 & \text{B) } 3 & \text{C) } 1 & \text{D) } 4 & \text{E) } 6 \end{array} $$
$$ M = y^{\frac{1}{x}} \cdot x^{\frac{1}{y}} $$
$$ \begin{array}{lllll} \text{A) } 2 & \text{B) } 3 & \text{C) } 1 & \text{D) } 4 & \text{E) } 6 \end{array} $$
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
2. Sustitución en la expresión $M$:
Sustituimos $y$ en el primer factor y $x$ en el segundo factor de $M$:
$$ M = (2^x)^{\frac{1}{x}} \cdot (2^y)^{\frac{1}{y}} $$
3. Aplicación de la potencia de potencia:
Recordando la propiedad $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$$ M = 2^{x \cdot \frac{1}{x}} \cdot 2^{y \cdot \frac{1}{y}} $$
Simplificando los exponentes:
$$ M = 2^1 \cdot 2^1 = 2 \cdot 2 = 4 $$
El valor calculado es $4$.
$$ \boxed{4} $$
- $y = 2^x$
- $x = 2^y$
2. Sustitución en la expresión $M$:
Sustituimos $y$ en el primer factor y $x$ en el segundo factor de $M$:
$$ M = (2^x)^{\frac{1}{x}} \cdot (2^y)^{\frac{1}{y}} $$
3. Aplicación de la potencia de potencia:
Recordando la propiedad $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$$ M = 2^{x \cdot \frac{1}{x}} \cdot 2^{y \cdot \frac{1}{y}} $$
Simplificando los exponentes:
$$ M = 2^1 \cdot 2^1 = 2 \cdot 2 = 4 $$
El valor calculado es $4$.
$$ \boxed{4} $$