Basico
MATU • Algebra
MATU_ECU_385
Examen de Admisión
Enunciado
Paso 1:
Se entregó correspondencia del punto $A$ al punto $B$. Primero fue llevada por un motociclista quien, tras recorrer $\frac{2}{3}$ de la distancia de $A$ a $B$, la entregó a un ciclista que lo esperaba. El correo llegó a $B$ como si hubiera sido llevado a una velocidad media de 40 km/h. Si el motociclista y el ciclista hubieran salido de $A$ y $B$ simultáneamente para encontrarse, se habrían encontrado tras un intervalo de tiempo que habría sido necesario para ir de $A$ a $B$ a 100 km/h. Hallar la velocidad del motociclista suponiendo que es más rápido que el ciclista.
Se entregó correspondencia del punto $A$ al punto $B$. Primero fue llevada por un motociclista quien, tras recorrer $\frac{2}{3}$ de la distancia de $A$ a $B$, la entregó a un ciclista que lo esperaba. El correo llegó a $B$ como si hubiera sido llevado a una velocidad media de 40 km/h. Si el motociclista y el ciclista hubieran salido de $A$ y $B$ simultáneamente para encontrarse, se habrían encontrado tras un intervalo de tiempo que habría sido necesario para ir de $A$ a $B$ a 100 km/h. Hallar la velocidad del motociclista suponiendo que es más rápido que el ciclista.
Solución Paso a Paso
1. Datos:
2. Desarrollo:
De la velocidad media:
$$ \begin{aligned} \frac{d}{\frac{2d}{3v_m} + \frac{d}{3v_c}} &= 40 \\ \frac{1}{\frac{2}{3v_m} + \frac{1}{3v_c}} &= 40 \Rightarrow \frac{2}{3v_m} + \frac{1}{3v_c} = \frac{1}{40} \\ \frac{2v_c + v_m}{3v_m v_c} &= \frac{1}{40} \Rightarrow 80v_c + 40v_m = 3v_m v_c \quad \dots \text{(Ec. 1)} \end{aligned} $$
De la condición de encuentro:
$$ \begin{aligned} \frac{d}{v_m + v_c} &= \frac{d}{100} \\ v_m + v_c &= 100 \Rightarrow v_c = 100 - v_m \quad \dots \text{(Ec. 2)} \end{aligned} $$
Sustituimos Ec. 2 en Ec. 1:
$$ \begin{aligned} 80(100 - v_m) + 40v_m &= 3v_m(100 - v_m) \\ 8000 - 80v_m + 40v_m &= 300v_m - 3v_m^2 \\ 3v_m^2 - 340v_m + 8000 &= 0 \end{aligned} $$
Resolviendo para $v_m$:
$$ v_m = \frac{340 \pm \sqrt{340^2 - 4(3)(8000)}}{6} = \frac{340 \pm \sqrt{115600 - 96000}}{6} = \frac{340 \pm 140}{6} $$
Soluciones: $v_m = \frac{480}{6} = 80$ o $v_m = \frac{200}{6} = 33.33$.
Como el motociclista es más rápido que el ciclista ($v_m + v_c = 100$), si $v_m = 80$, entonces $v_c = 20$. Si $v_m = 33.33$, entonces $v_c = 66.66$ (no cumple $v_m > v_c$).
3. Resultado:
$$ \boxed{v_m = 80 \text{ km/h}} $$
- Distancia total: $d$.
- Velocidad del motociclista: $v_m$. Velocidad del ciclista: $v_c$.
- Tiempo total de entrega: $T = \frac{2d/3}{v_m} + \frac{d/3}{v_c}$.
- Velocidad media: $V_{avg} = \frac{d}{T} = 40 \text{ km/h}$.
- Tiempo de encuentro: $t_e = \frac{d}{v_m + v_c}$.
- Condición de encuentro: $t_e = \frac{d}{100}$.
2. Desarrollo:
De la velocidad media:
$$ \begin{aligned} \frac{d}{\frac{2d}{3v_m} + \frac{d}{3v_c}} &= 40 \\ \frac{1}{\frac{2}{3v_m} + \frac{1}{3v_c}} &= 40 \Rightarrow \frac{2}{3v_m} + \frac{1}{3v_c} = \frac{1}{40} \\ \frac{2v_c + v_m}{3v_m v_c} &= \frac{1}{40} \Rightarrow 80v_c + 40v_m = 3v_m v_c \quad \dots \text{(Ec. 1)} \end{aligned} $$
De la condición de encuentro:
$$ \begin{aligned} \frac{d}{v_m + v_c} &= \frac{d}{100} \\ v_m + v_c &= 100 \Rightarrow v_c = 100 - v_m \quad \dots \text{(Ec. 2)} \end{aligned} $$
Sustituimos Ec. 2 en Ec. 1:
$$ \begin{aligned} 80(100 - v_m) + 40v_m &= 3v_m(100 - v_m) \\ 8000 - 80v_m + 40v_m &= 300v_m - 3v_m^2 \\ 3v_m^2 - 340v_m + 8000 &= 0 \end{aligned} $$
Resolviendo para $v_m$:
$$ v_m = \frac{340 \pm \sqrt{340^2 - 4(3)(8000)}}{6} = \frac{340 \pm \sqrt{115600 - 96000}}{6} = \frac{340 \pm 140}{6} $$
Soluciones: $v_m = \frac{480}{6} = 80$ o $v_m = \frac{200}{6} = 33.33$.
Como el motociclista es más rápido que el ciclista ($v_m + v_c = 100$), si $v_m = 80$, entonces $v_c = 20$. Si $v_m = 33.33$, entonces $v_c = 66.66$ (no cumple $v_m > v_c$).
3. Resultado:
$$ \boxed{v_m = 80 \text{ km/h}} $$