Basico
MATU • Algebra
MATU_ECU_384
Examen de Admisión
Enunciado
Paso 1:
Un ciclista y un autobús salieron simultáneamente de los puntos $A$ y $B$ para encontrarse. El ciclista tarda 2 horas y 40 minutos más en ir de $A$ a $B$ que el autobús en ir de $B$ a $A$, y la suma de los tiempos que tardan es $\frac{16}{3}$ veces el tiempo que tardan en encontrarse tras la partida. ¿Cuánto tiempo tarda el ciclista en ir de $A$ a $B$ y el autobús en ir de $B$ a $A$?
Un ciclista y un autobús salieron simultáneamente de los puntos $A$ y $B$ para encontrarse. El ciclista tarda 2 horas y 40 minutos más en ir de $A$ a $B$ que el autobús en ir de $B$ a $A$, y la suma de los tiempos que tardan es $\frac{16}{3}$ veces el tiempo que tardan en encontrarse tras la partida. ¿Cuánto tiempo tarda el ciclista en ir de $A$ a $B$ y el autobús en ir de $B$ a $A$?
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
2. Desarrollo paso a paso:
Sabemos que $t_c = \frac{d}{v_c}$ y $t_b = \frac{d}{v_b}$. Entonces $v_c = \frac{d}{t_c}$ y $v_b = \frac{d}{t_b}$.
Sustituimos en la fórmula de $t_e$:
$$ t_e = \frac{d}{\frac{d}{t_c} + \frac{d}{t_b}} = \frac{1}{\frac{t_b + t_c}{t_c t_b}} = \frac{t_c t_b}{t_c + t_b} $$
Sustituimos esto en la relación dada:
$$ \begin{aligned} t_c + t_b &= \frac{16}{3} \left( \frac{t_c t_b}{t_c + t_b} \right) \\ (t_c + t_b)^2 &= \frac{16}{3} t_c t_b \end{aligned} $$
Sustituimos $t_c = t_b + \frac{8}{3}$:
$$ \begin{aligned} (t_b + \frac{8}{3} + t_b)^2 &= \frac{16}{3} (t_b + \frac{8}{3}) t_b \\ (2t_b + \frac{8}{3})^2 &= \frac{16}{3} t_b^2 + \frac{128}{9} t_b \\ 4t_b^2 + \frac{32}{3} t_b + \frac{64}{9} &= \frac{16}{3} t_b^2 + \frac{128}{9} t_b \end{aligned} $$
Multiplicamos todo por 9 para eliminar denominadores:
$$ \begin{aligned} 36t_b^2 + 96t_b + 64 &= 48t_b^2 + 128t_b \\ 12t_b^2 + 32t_b - 64 &= 0 \\ 3t_b^2 + 8t_b - 16 &= 0 \end{aligned} $$
Factorizando: $(3t_b - 4)(t_b + 4) = 0$. Como el tiempo es positivo, $t_b = \frac{4}{3}$ horas (1 h 20 min).
Luego, $t_c = \frac{4}{3} + \frac{8}{3} = \frac{12}{3} = 4$ horas.
3. Resultado:
$$ \boxed{t_c = 4 \text{ h}, \quad t_b = 1 \text{ h } 20 \text{ min}} $$
- $t_c$: tiempo del ciclista de $A$ a $B$.
- $t_b$: tiempo del autobús de $B$ a $A$.
- Diferencia de tiempo: $t_c = t_b + 2\frac{40}{60} = t_b + \frac{8}{3}$ horas.
- Tiempo de encuentro: $t_e = \frac{d}{v_c + v_b}$.
- Relación dada: $t_c + t_b = \frac{16}{3} t_e$.
2. Desarrollo paso a paso:
Sabemos que $t_c = \frac{d}{v_c}$ y $t_b = \frac{d}{v_b}$. Entonces $v_c = \frac{d}{t_c}$ y $v_b = \frac{d}{t_b}$.
Sustituimos en la fórmula de $t_e$:
$$ t_e = \frac{d}{\frac{d}{t_c} + \frac{d}{t_b}} = \frac{1}{\frac{t_b + t_c}{t_c t_b}} = \frac{t_c t_b}{t_c + t_b} $$
Sustituimos esto en la relación dada:
$$ \begin{aligned} t_c + t_b &= \frac{16}{3} \left( \frac{t_c t_b}{t_c + t_b} \right) \\ (t_c + t_b)^2 &= \frac{16}{3} t_c t_b \end{aligned} $$
Sustituimos $t_c = t_b + \frac{8}{3}$:
$$ \begin{aligned} (t_b + \frac{8}{3} + t_b)^2 &= \frac{16}{3} (t_b + \frac{8}{3}) t_b \\ (2t_b + \frac{8}{3})^2 &= \frac{16}{3} t_b^2 + \frac{128}{9} t_b \\ 4t_b^2 + \frac{32}{3} t_b + \frac{64}{9} &= \frac{16}{3} t_b^2 + \frac{128}{9} t_b \end{aligned} $$
Multiplicamos todo por 9 para eliminar denominadores:
$$ \begin{aligned} 36t_b^2 + 96t_b + 64 &= 48t_b^2 + 128t_b \\ 12t_b^2 + 32t_b - 64 &= 0 \\ 3t_b^2 + 8t_b - 16 &= 0 \end{aligned} $$
Factorizando: $(3t_b - 4)(t_b + 4) = 0$. Como el tiempo es positivo, $t_b = \frac{4}{3}$ horas (1 h 20 min).
Luego, $t_c = \frac{4}{3} + \frac{8}{3} = \frac{12}{3} = 4$ horas.
3. Resultado:
$$ \boxed{t_c = 4 \text{ h}, \quad t_b = 1 \text{ h } 20 \text{ min}} $$