Basico
MATU • Algebra
MATU_ECU_368
Problemas de Álgebra
Enunciado
Paso 1:
Un tren rápido cubre la distancia entre dos ciudades $4$ horas más rápido que un tren de carga y $1$ hora más rápido que un tren de pasajeros. Se sabe que la velocidad del tren de carga es $5/8$ de la velocidad del tren de pasajeros y $50$ km/h menos que la velocidad del tren rápido. Encuentre las velocidades de los trenes de carga y rápido.
Un tren rápido cubre la distancia entre dos ciudades $4$ horas más rápido que un tren de carga y $1$ hora más rápido que un tren de pasajeros. Se sabe que la velocidad del tren de carga es $5/8$ de la velocidad del tren de pasajeros y $50$ km/h menos que la velocidad del tren rápido. Encuentre las velocidades de los trenes de carga y rápido.
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
Sean $v_f, v_p, v_c$ las velocidades del tren rápido, de pasajeros y de carga respectivamente, y $D$ la distancia.
2. Desarrollo paso a paso:
Expresamos los tiempos en función de la distancia $D$:
$\frac{D}{v_f} = \frac{D}{v_c} - 4$ (Eq. 1)
$\frac{D}{v_f} = \frac{D}{v_p} - 1$ (Eq. 2)
De las relaciones de velocidad:
$v_p = \frac{8}{5} v_c$
$v_f = v_c + 50$
Sustituimos en Eq. 1 y Eq. 2:
1) $D \left( \frac{1}{v_c+50} \right) = D \left( \frac{1}{v_c} \right) - 4 \implies 4 = D \left( \frac{50}{v_c(v_c+50)} \right)$
2) $D \left( \frac{1}{v_c+50} \right) = D \left( \frac{5}{8v_c} \right) - 1 \implies 1 = D \left( \frac{5(v_c+50) - 8v_c}{8v_c(v_c+50)} \right) = D \left( \frac{250 - 3v_c}{8v_c(v_c+50)} \right)$
Dividiendo las dos expresiones para eliminar $D$:
$$ \frac{4}{1} = \frac{50 \cdot 8}{250 - 3v_c} \implies 4(250 - 3v_c) = 400 $$
$$ 1000 - 12v_c = 400 \implies 12v_c = 600 \implies v_c = 50 \text{ km/h} $$
Luego, $v_f = 50 + 50 = 100 \text{ km/h}$.
3. Resultado final:
Las velocidades son:
$$ \boxed{v_c = 50 \text{ km/h}, \quad v_f = 100 \text{ km/h}} $$
Sean $v_f, v_p, v_c$ las velocidades del tren rápido, de pasajeros y de carga respectivamente, y $D$ la distancia.
- $t_f = t_c - 4$
- $t_f = t_p - 1$
- $v_c = \frac{5}{8} v_p$
- $v_c = v_f - 50$
2. Desarrollo paso a paso:
Expresamos los tiempos en función de la distancia $D$:
$\frac{D}{v_f} = \frac{D}{v_c} - 4$ (Eq. 1)
$\frac{D}{v_f} = \frac{D}{v_p} - 1$ (Eq. 2)
De las relaciones de velocidad:
$v_p = \frac{8}{5} v_c$
$v_f = v_c + 50$
Sustituimos en Eq. 1 y Eq. 2:
1) $D \left( \frac{1}{v_c+50} \right) = D \left( \frac{1}{v_c} \right) - 4 \implies 4 = D \left( \frac{50}{v_c(v_c+50)} \right)$
2) $D \left( \frac{1}{v_c+50} \right) = D \left( \frac{5}{8v_c} \right) - 1 \implies 1 = D \left( \frac{5(v_c+50) - 8v_c}{8v_c(v_c+50)} \right) = D \left( \frac{250 - 3v_c}{8v_c(v_c+50)} \right)$
Dividiendo las dos expresiones para eliminar $D$:
$$ \frac{4}{1} = \frac{50 \cdot 8}{250 - 3v_c} \implies 4(250 - 3v_c) = 400 $$
$$ 1000 - 12v_c = 400 \implies 12v_c = 600 \implies v_c = 50 \text{ km/h} $$
Luego, $v_f = 50 + 50 = 100 \text{ km/h}$.
3. Resultado final:
Las velocidades son:
$$ \boxed{v_c = 50 \text{ km/h}, \quad v_f = 100 \text{ km/h}} $$