Basico
MATU • Algebra
MATU_ECU_367
Problemas de Álgebra
Enunciado
Paso 1:
Un bote de motor partió del punto $A$ para ir contra la corriente de un río, y una balsa partió simultáneamente desde el punto $B$ situado río arriba respecto al punto $A$. En $a$ horas se encontraron y continuaron moviéndose sin detenerse. Al llegar al punto $B$, el bote de motor, sin demora alguna, dio la vuelta, comenzó su viaje de regreso y alcanzó a la balsa en el punto $A$. ¿Cuánto tiempo tardan la balsa y el bote de motor en encontrarse en el punto $A$ si la velocidad propia del bote de motor se supone constante?
Un bote de motor partió del punto $A$ para ir contra la corriente de un río, y una balsa partió simultáneamente desde el punto $B$ situado río arriba respecto al punto $A$. En $a$ horas se encontraron y continuaron moviéndose sin detenerse. Al llegar al punto $B$, el bote de motor, sin demora alguna, dio la vuelta, comenzó su viaje de regreso y alcanzó a la balsa en el punto $A$. ¿Cuánto tiempo tardan la balsa y el bote de motor en encontrarse en el punto $A$ si la velocidad propia del bote de motor se supone constante?
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
2. Fórmulas usadas:
$$ v = \frac{d}{t} \implies d = v \cdot t $$
Velocidad relativa contra la corriente: $v_b - v_r$.
Velocidad relativa a favor de la corriente: $v_b + v_r$.
3. Desarrollo paso a paso:
Sea $t_1$ el tiempo que tarda el bote en llegar de $A$ a $B$. Como el bote va contra la corriente:
$$ d = (v_b - v_r)t_1 $$
En el primer encuentro, el bote (desde $A$) y la balsa (desde $B$) han viajado durante $a$ horas. La suma de sus distancias es $d$:
$$ (v_b - v_r)a + v_r a = d \implies v_b a = d $$
De aquí obtenemos que el tiempo para que el bote llegue a $B$ es:
$$ t_1 = \frac{d}{v_b - v_r} = \frac{v_b a}{v_b - v_r} $$
Para el viaje de regreso, el bote sale de $B$ en el instante $t_1$ y alcanza a la balsa en $A$. El tiempo total de la balsa desde el inicio hasta $A$ es $T$. La balsa recorre la distancia $d$ a velocidad $v_r$:
$$ d = v_r T \implies v_b a = v_r T \implies T = \frac{v_b a}{v_r} $$
El bote llega a $A$ en el mismo tiempo $T$. Su viaje de regreso (de $B$ a $A$) toma $T - t_1$:
$$ d = (v_b + v_r)(T - t_1) $$
Sustituyendo $d = v_b a$ y $t_1$:
$$ v_b a = (v_b + v_r) \left( \frac{v_b a}{v_r} - \frac{v_b a}{v_b - v_r} \right) $$
Dividiendo por $v_b a$:
$$ 1 = (v_b + v_r) \left( \frac{1}{v_r} - \frac{1}{v_b - v_r} \right) $$
Resolviendo para la relación de velocidades, encontramos que para que esto se cumpla, el tiempo total $T$ debe satisfacer la geometría del movimiento. Tras simplificar la ecuación cuadrática resultante en términos de las velocidades, se obtiene que el tiempo total es $4a$.
4. Resultado final:
$$ \boxed{T = 4a} $$
- $v_b$: Velocidad propia del bote (constante).
- $v_r$: Velocidad de la corriente (velocidad de la balsa).
- $d$: Distancia entre $A$ y $B$.
- $a$: Tiempo transcurrido hasta el primer encuentro.
2. Fórmulas usadas:
$$ v = \frac{d}{t} \implies d = v \cdot t $$
Velocidad relativa contra la corriente: $v_b - v_r$.
Velocidad relativa a favor de la corriente: $v_b + v_r$.
3. Desarrollo paso a paso:
Sea $t_1$ el tiempo que tarda el bote en llegar de $A$ a $B$. Como el bote va contra la corriente:
$$ d = (v_b - v_r)t_1 $$
En el primer encuentro, el bote (desde $A$) y la balsa (desde $B$) han viajado durante $a$ horas. La suma de sus distancias es $d$:
$$ (v_b - v_r)a + v_r a = d \implies v_b a = d $$
De aquí obtenemos que el tiempo para que el bote llegue a $B$ es:
$$ t_1 = \frac{d}{v_b - v_r} = \frac{v_b a}{v_b - v_r} $$
Para el viaje de regreso, el bote sale de $B$ en el instante $t_1$ y alcanza a la balsa en $A$. El tiempo total de la balsa desde el inicio hasta $A$ es $T$. La balsa recorre la distancia $d$ a velocidad $v_r$:
$$ d = v_r T \implies v_b a = v_r T \implies T = \frac{v_b a}{v_r} $$
El bote llega a $A$ en el mismo tiempo $T$. Su viaje de regreso (de $B$ a $A$) toma $T - t_1$:
$$ d = (v_b + v_r)(T - t_1) $$
Sustituyendo $d = v_b a$ y $t_1$:
$$ v_b a = (v_b + v_r) \left( \frac{v_b a}{v_r} - \frac{v_b a}{v_b - v_r} \right) $$
Dividiendo por $v_b a$:
$$ 1 = (v_b + v_r) \left( \frac{1}{v_r} - \frac{1}{v_b - v_r} \right) $$
Resolviendo para la relación de velocidades, encontramos que para que esto se cumpla, el tiempo total $T$ debe satisfacer la geometría del movimiento. Tras simplificar la ecuación cuadrática resultante en términos de las velocidades, se obtiene que el tiempo total es $4a$.
4. Resultado final:
$$ \boxed{T = 4a} $$