1. Inspección de Raíces:
Sumamos los coeficientes: $4 + 0 - 3 - 1 = 0$.
Como la suma es cero, $x = 1$ es una raíz obligatoria.

2. División del Polinomio:
Dividimos $4x^3 - 3x - 1$ entre $(x - 1)$ usando Ruffini:
$$ \begin{array}{r|rrr|r} & 4 & 0 & -3 & -1 \\ 1 & & 4 & 4 & 1 \\ \hline & 4 & 4 & 1 & 0 \end{array} $$
El cociente es $4x^2 + 4x + 1$.

3. Factorización del Cociente:
Observamos que $4x^2 + 4x + 1$ es un trinomio cuadrado perfecto:
$$ 4x^2 + 4x + 1 = (2x + 1)^2 $$
Igualando a cero:
$$ (2x + 1)^2 = 0 \Rightarrow 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1/2 $$
Esta es una raíz de multiplicidad 2 (raíz doble).

Resultado:
$$ \boxed{x \in \{1, -0.5\}} $$