1. Cambio de variable:
Sea $u = x^4$. Entonces la ecuación se transforma en una de segundo grado:
$$u^2 - 15u - 16 = 0$$

2. Factorización de la cuadrática:
Buscamos dos números que multiplicados den $-16$ y sumados den $-15$:
$$(u - 16)(u + 1) = 0$$
Por lo tanto: $u_1 = 16$ y $u_2 = -1$.

3. Retorno a la variable original:

• Caso 1: $x^4 = 16 \implies x^4 - 16 = 0$

$$(x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0 \implies (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) = 0$$
Soluciones: $x = 2$, $x = -2$, $x = 2i$, $x = -2i$.

• Caso 2: $x^4 = -1$.

Para resolver $x^4 = -1$ en el campo complejo:
$$x = \sqrt[4]{-1} = \frac{\sqrt{2}}{2} \pm \frac{\sqrt{2}}{2}i, \quad -\frac{\sqrt{2}}{2} \pm \frac{\sqrt{2}}{2}i$$

Si nos limitamos a soluciones reales:
$$ \boxed{x = \pm 2} $$