I
MATU • Algebra
MATU_ECU_229
Solving Problems in Algebra and Trigonometry Litvinenko Mordkovich
Enunciado
Paso 1:
$\log_x (2x^2 - 7x + 12) = 2$
$\log_x (2x^2 - 7x + 12) = 2$
Solución Paso a Paso
1. Definición de logaritmo:
La expresión $\log_b a = c$ es equivalente a $b^c = a$.
$$ x^2 = 2x^2 - 7x + 12 $$
2. Resolución de la ecuación cuadrática:
Trasponemos términos:
$$ x^2 - 2x^2 + 7x - 12 = 0 \Rightarrow -x^2 + 7x - 12 = 0 $$
Multiplicamos por -1:
$$ x^2 - 7x + 12 = 0 $$
Factorizamos:
$$ (x - 3)(x - 4) = 0 $$
3. Verificación de la base:
La base $x$ debe ser $x > 0$ y $x \neq 1$. Ambos valores, 3 y 4, cumplen esta condición. Además, el argumento $2x^2 - 7x + 12$ es positivo para ambos valores.
Resultado:
$$ \boxed{x_1 = 3, x_2 = 4} $$
La expresión $\log_b a = c$ es equivalente a $b^c = a$.
$$ x^2 = 2x^2 - 7x + 12 $$
2. Resolución de la ecuación cuadrática:
Trasponemos términos:
$$ x^2 - 2x^2 + 7x - 12 = 0 \Rightarrow -x^2 + 7x - 12 = 0 $$
Multiplicamos por -1:
$$ x^2 - 7x + 12 = 0 $$
Factorizamos:
$$ (x - 3)(x - 4) = 0 $$
3. Verificación de la base:
La base $x$ debe ser $x > 0$ y $x \neq 1$. Ambos valores, 3 y 4, cumplen esta condición. Además, el argumento $2x^2 - 7x + 12$ es positivo para ambos valores.
Resultado:
$$ \boxed{x_1 = 3, x_2 = 4} $$