1. Restricciones del logaritmo:
Para que el logaritmo exista:
$$ x > 0 \quad \text{y} \quad 54 - x^3 > 0 \Rightarrow x^3 < 54 $$

2. Aplicando propiedades de los logaritmos:
Utilizamos la propiedad del logaritmo de una potencia: $n \log_b a = \log_b a^n$.
$$ \log (54 - x^3) = \log (x^3) $$

3. Igualando los argumentos:
Como los logaritmos tienen la misma base y son iguales, sus argumentos deben ser iguales:
$$ 54 - x^3 = x^3 $$

4. Despejando $x$:
$$ 54 = x^3 + x^3 $$
$$ 54 = 2x^3 $$
$$ \frac{54}{2} = x^3 \Rightarrow 27 = x^3 $$
$$ x = \sqrt[3]{27} $$
$$ x = 3 $$

5. Verificación:
Si $x=3$, entonces $3>0$ y $54 - (3)^3 = 54 - 27 = 27 > 0$. La solución es válida.

$$ \boxed{x = 3} $$