I
MATU • Algebra
MATU_ECU_198
solving-problems-in-algebra-and-trigonometry Litvinenko Mordkovich
Enunciado
Determine si el siguiente par de ecuaciones son equivalentes:
$$ x^2 + 1 = 0 \quad \text{y} \quad \frac{x^2 + 1}{x} = 0 $$
$$ x^2 + 1 = 0 \quad \text{y} \quad \frac{x^2 + 1}{x} = 0 $$
Solución Paso a Paso
1. Análisis de la primera ecuación:
$$ x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1 $$
No existe ningún número real cuyo cuadrado sea negativo.
Conjunto solución: $S_1 = \emptyset$.
2. Análisis de la segunda ecuación:
$$ \frac{x^2 + 1}{x} = 0 $$
Dominio: $x \neq 0$.
Para que una fracción sea cero, su numerador debe ser cero:
$$ x^2 + 1 = 0 $$
Nuevamente, no hay soluciones reales.
Conjunto solución: $S_2 = \emptyset$.
3. Comparación:
$$ S_1 = \emptyset \quad \text{y} \quad S_2 = \emptyset $$
Dado que ambos conjuntos de soluciones son idénticos (ambos vacíos), las ecuaciones cumplen con la definición de equivalencia.
Conclusión:
$$ \boxed{\text{Las ecuaciones son equivalentes}} $$
$$ x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1 $$
No existe ningún número real cuyo cuadrado sea negativo.
Conjunto solución: $S_1 = \emptyset$.
2. Análisis de la segunda ecuación:
$$ \frac{x^2 + 1}{x} = 0 $$
Dominio: $x \neq 0$.
Para que una fracción sea cero, su numerador debe ser cero:
$$ x^2 + 1 = 0 $$
Nuevamente, no hay soluciones reales.
Conjunto solución: $S_2 = \emptyset$.
3. Comparación:
$$ S_1 = \emptyset \quad \text{y} \quad S_2 = \emptyset $$
Dado que ambos conjuntos de soluciones son idénticos (ambos vacíos), las ecuaciones cumplen con la definición de equivalencia.
Conclusión:
$$ \boxed{\text{Las ecuaciones son equivalentes}} $$