1. Dominio de la ecuación:
Para que las raíces existan en los reales:
$x + 7 \ge 0 \Rightarrow x \ge -7$
$x - 5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5$
El dominio es $x \in [5, \infty)$.

2. Aislamiento de un radical:
Transponemos el segundo término al miembro derecho:
$$\sqrt{x+7} = 2 + \sqrt{x-5}$$

3. Elevación al cuadrado:
Elevamos ambos miembros al cuadrado:
$$(\sqrt{x+7})^2 = (2 + \sqrt{x-5})^2$$
$$x + 7 = 4 + 4\sqrt{x-5} + (x - 5)$$

4. Simplificación y despeje:
Cancelamos $x$ en ambos lados y agrupamos términos constantes:
$$x + 7 = x - 1 + 4\sqrt{x-5}$$
$$7 + 1 = 4\sqrt{x-5}$$
$$8 = 4\sqrt{x-5}$$
Dividimos entre 4:
$$2 = \sqrt{x-5}$$

5. Resolución final:
Elevamos nuevamente al cuadrado:
$$2^2 = (\sqrt{x-5})^2$$
$$4 = x - 5$$
$$x = 9$$

6. Verificación:
Sustituimos $x = 9$ en la ecuación original:
$\sqrt{9+7} - \sqrt{9-5} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2$.
La solución es válida.

Resultado final: $x = 9$.