I
MATU • Algebra
MATU_ECU_038
Guía de Ejercicios
Enunciado
Calcular "a" de manera que las 2 ecuaciones:
\begin{align*} (5a - 2)x^2 - (a - 1)x + 2 &= 0 \\ (2b + 1)x^2 - 5x + 3 &= 0 \end{align*}
tengan las mismas raíces.
a) $\frac{4}{3}$ b) $\frac{1}{3}$ c) $\frac{7}{3}$ d) $\frac{13}{3}$ e) $\frac{11}{3}$
\begin{align*} (5a - 2)x^2 - (a - 1)x + 2 &= 0 \\ (2b + 1)x^2 - 5x + 3 &= 0 \end{align*}
tengan las mismas raíces.
a) $\frac{4}{3}$ b) $\frac{1}{3}$ c) $\frac{7}{3}$ d) $\frac{13}{3}$ e) $\frac{11}{3}$
Solución Paso a Paso
1. Propiedad de ecuaciones equivalentes:
Para que dos ecuaciones cuadráticas tengan las mismas raíces, sus coeficientes respectivos deben ser proporcionales:
$$ \frac{5a - 2}{2b + 1} = \frac{-(a - 1)}{-5} = \frac{2}{3} $$
2. Resolución para "a":
Igualamos la segunda y tercera razón:
$$ \frac{a - 1}{5} = \frac{2}{3} $$
Multiplicamos en cruz:
$$ 3(a - 1) = 2(5) $$
$$ 3a - 3 = 10 $$
$$ 3a = 13 $$
$$ a = \frac{13}{3} $$
Resultado final: $a = 13/3$.
Respuesta: d) 13/3
Para que dos ecuaciones cuadráticas tengan las mismas raíces, sus coeficientes respectivos deben ser proporcionales:
$$ \frac{5a - 2}{2b + 1} = \frac{-(a - 1)}{-5} = \frac{2}{3} $$
2. Resolución para "a":
Igualamos la segunda y tercera razón:
$$ \frac{a - 1}{5} = \frac{2}{3} $$
Multiplicamos en cruz:
$$ 3(a - 1) = 2(5) $$
$$ 3a - 3 = 10 $$
$$ 3a = 13 $$
$$ a = \frac{13}{3} $$
Resultado final: $a = 13/3$.
Respuesta: d) 13/3