1. Forma estándar de la ecuación

Primero, igualamos la ecuación a cero para identificar los coeficientes $a, b, c$:
$$ hx^2 - x^2 + 2hx - 3x + h - 5 = 0 $$
Factorizamos la variable $x$:
$$ (h-1)x^2 + (2h-3)x + (h-5) = 0 $$

2. Análisis conceptual de las raíces

El problema exige dos condiciones para las raíces $x_1$ y $x_2$:

1. Recíprocas: Su magnitud es inversa ($|x_1| = 1/|x_2|$).
2. Signos opuestos: Una es positiva y la otra negativa.

Representación en la recta numérica (Ejemplo conceptual):
$$ \begin{array}{ccccccc} \text{Raíz } x_1 & & 0 & & \text{Raíz } x_2 \\ \hline -2 & \leftarrow & | & \rightarrow & 1/2 \\ \end{array} $$
$$ \text{Matemáticamente: } x_1 \cdot x_2 = -1 $$

3. Resolución por propiedades de raíces

Sabemos que el producto de raíces es $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$. Sustituimos:
$$ \frac{h - 5}{h - 1} = -1 $$

Multiplicamos ambos miembros por $(h-1)$:
$$ h - 5 = -1(h - 1) $$
$$ h - 5 = -h + 1 $$

Agrupamos términos semejantes:
$$ h + h = 1 + 5 $$
$$ 2h = 6 $$

Conclusión:
$$ \boxed{h = 3} $$