I
MATU • Algebra
MATU_DIV_032
Guía de Ejercicios
Enunciado
Si el siguiente polinomio: $(mx + 1)^2 + (m + x)^2 + mx$ es divisible entre $(x + 1)$. Calcular "$m$".
a) 2 b) -2 c) 4 d) 5 e) 0
a) 2 b) -2 c) 4 d) 5 e) 0
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
2. Fórmulas/Propiedades:
3. Desarrollo paso a paso:
Evaluamos $P(x)$ en $x = -1$:
$$P(-1) = (m(-1) + 1)^2 + (m + (-1))^2 + m(-1) = 0$$
$$(-m + 1)^2 + (m - 1)^2 - m = 0$$
Dado que $(-m+1)^2 = (m-1)^2$:
$$2(m - 1)^2 - m = 0$$
$$2(m^2 - 2m + 1) - m = 0$$
$$2m^2 - 4m + 2 - m = 0 \implies 2m^2 - 5m + 2 = 0$$
Resolvemos la ecuación cuadrática factorizando:
$$(2m - 1)(m - 2) = 0$$
4. Resultado final:
Comparando con las opciones dadas, el valor es $m = 2$.
Respuesta: a)
- $P(x) = (mx + 1)^2 + (m + x)^2 + mx$
- Divisor: $(x + 1)$
2. Fórmulas/Propiedades:
- Teorema del Resto: Si $P(x)$ es divisible por $(x+1)$, entonces $P(-1) = 0$.
3. Desarrollo paso a paso:
Evaluamos $P(x)$ en $x = -1$:
$$P(-1) = (m(-1) + 1)^2 + (m + (-1))^2 + m(-1) = 0$$
$$(-m + 1)^2 + (m - 1)^2 - m = 0$$
Dado que $(-m+1)^2 = (m-1)^2$:
$$2(m - 1)^2 - m = 0$$
$$2(m^2 - 2m + 1) - m = 0$$
$$2m^2 - 4m + 2 - m = 0 \implies 2m^2 - 5m + 2 = 0$$
Resolvemos la ecuación cuadrática factorizando:
$$(2m - 1)(m - 2) = 0$$
4. Resultado final:
Comparando con las opciones dadas, el valor es $m = 2$.
Respuesta: a)