I
MATU • Algebra
MATU_DET_010
Guía de Estudios
Enunciado
Calcular el valor del determinante:
$$E = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \end{vmatrix}$$
a) $1$ b) $-1$ c) $2$ d) $-2$ e) $0$
$$E = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \end{vmatrix}$$
a) $1$ b) $-1$ c) $2$ d) $-2$ e) $0$
Solución Paso a Paso
1. Análisis de la matriz:
Observamos que los elementos de cada fila (y columna) están en progresión aritmética con una diferencia común $d = 1$.
2. Propiedad aplicada:
Si en una matriz de orden $n \ge 3$, los elementos de las filas o columnas están en progresión aritmética, su determinante es igual a cero. Esto se debe a que las segundas diferencias son nulas, lo que implica que las filas son linealmente dependientes.
3. Demostración rápida:
Restamos la fila 1 de la fila 2 ($R_2 - R_1$) y la fila 2 de la fila 3 ($R_3 - R_2$):
Al tener dos filas idénticas en el proceso de reducción, el determinante es automáticamente $0$.
Resultado:
La respuesta correcta es la e).
Observamos que los elementos de cada fila (y columna) están en progresión aritmética con una diferencia común $d = 1$.
2. Propiedad aplicada:
Si en una matriz de orden $n \ge 3$, los elementos de las filas o columnas están en progresión aritmética, su determinante es igual a cero. Esto se debe a que las segundas diferencias son nulas, lo que implica que las filas son linealmente dependientes.
3. Demostración rápida:
Restamos la fila 1 de la fila 2 ($R_2 - R_1$) y la fila 2 de la fila 3 ($R_3 - R_2$):
- $R_2 - R_1 = (1, 1, 1, 1, 1, 1)$
- $R_3 - R_2 = (1, 1, 1, 1, 1, 1)$
Al tener dos filas idénticas en el proceso de reducción, el determinante es automáticamente $0$.
Resultado:
La respuesta correcta es la e).