Datos del problema

• Polinomio: $P(x)=6x^3-6x^2-px-12$.
• Queremos que $2x-3$ sea divisor de $P(x)$.

Propiedad a usar: Teorema del Resto / Criterio de divisibilidad\\
Un polinomio $P(x)$ es divisible por $ax-b$ si y sólo si $P\!\left(\dfrac{b}{a}\right)=0$.

Desarrollo paso a paso

1. Si $2x-3=0\ \Rightarrow\ x=\dfrac{3}{2}$. Para que $2x-3$ divida a $P(x)$ debe cumplirse $P\!\left(\dfrac{3}{2}\right)=0$.
2. Sustituimos:
   $$ 6\left(\frac{3}{2}\right)^3-6\left(\frac{3}{2}\right)^2-p\left(\frac{3}{2}\right)-12=0. $$
3. Calculamos potencias:
   $$ \left(\frac{3}{2}\right)^3=\frac{27}{8},\qquad \left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}. $$
   Entonces
   $$ 6\cdot\frac{27}{8}-6\cdot\frac{9}{4}-\frac{3}{2}p-12=0 \ \Longrightarrow\ \frac{81}{4}-\frac{54}{4}-\frac{3}{2}p-12=0. $$
4. Simplificamos los términos constantes:
   $$ \frac{27}{4}-\frac{3}{2}p-12=0 \ \Longrightarrow\ -\frac{21}{4}-\frac{3}{2}p=0. $$
5. Despejamos $p $:
   $$ \frac{3}{2}p=-\frac{21}{4} \ \Longrightarrow\ p=-\frac{21}{4}\cdot\frac{2}{3}=-\frac{42}{12}=-\frac{7}{2}. $$

Resultado final\\
El valor de $ p $ para que $P(x)$ sea divisible por $2x-3$ es
$$ \boxed{p=-\frac{7}{2}}. $$