I
FISU • Algebra
FISU_CIN_550
Problemas de Matemáticas Elementales
Enunciado
Paso 1:
El punto $C$ se encuentra entre los puntos $A$ y $B$, tal que $AC = 17 \text{ km}$ y $BC = 3 \text{ km}$. Un coche salió de $A$ hacia $B$. Tras haber recorrido menos de dos kilómetros, se detuvo por algún tiempo. Cuando empezó a moverse de nuevo hacia $B$, un peatón y un ciclista salieron de $C$ hacia $B$ y, tras haber llegado a $B$, dieron la vuelta hacia $A$. ¿Quién se encontrará primero con el coche si este es cuatro veces más rápido que el ciclista y ocho veces más rápido que el peatón?
El punto $C$ se encuentra entre los puntos $A$ y $B$, tal que $AC = 17 \text{ km}$ y $BC = 3 \text{ km}$. Un coche salió de $A$ hacia $B$. Tras haber recorrido menos de dos kilómetros, se detuvo por algún tiempo. Cuando empezó a moverse de nuevo hacia $B$, un peatón y un ciclista salieron de $C$ hacia $B$ y, tras haber llegado a $B$, dieron la vuelta hacia $A$. ¿Quién se encontrará primero con el coche si este es cuatro veces más rápido que el ciclista y ocho veces más rápido que el peatón?
Solución Paso a Paso
1. Datos de velocidad:
Sea $v_c$ la velocidad del coche, $v_{cy}$ la del ciclista y $v_p$ la del peatón.
$v_c = 4v_{cy}$, $v_c = 8v_p$.
Esto implica que $v_{cy} = 2v_p$.
2. Análisis del trayecto desde C:
La distancia de $C$ a $B$ es $3 \text{ km}$.
Tiempo para llegar a $B$ y regresar:
El peatón y el ciclista salen de $C$ al mismo tiempo. Como el ciclista es el doble de rápido, llegará a $B$ mucho antes que el peatón.
Al dar la vuelta en $B$, el ciclista se mueve hacia $A$ (donde viene el coche).
3. Comparación:
El coche viene de $A$ (recorrido largo, $17 \text{ km}$ hasta $C$). El ciclista solo recorre $3 \text{ km}$ hasta $B$ y regresa.
Debido a que $v_c = 4v_{cy}$, el ciclista recorre su tramo de ida y vuelta ($6 \text{ km}$) mientras el coche recorre $24 \text{ km}$.
Como la distancia total $AB$ es $20 \text{ km}$, el ciclista encontrará al coche antes de que el peatón (que es más lento) pueda siquiera regresar de $B$.
4. Resultado:
$$ \boxed{\text{El ciclista}} $$
Sea $v_c$ la velocidad del coche, $v_{cy}$ la del ciclista y $v_p$ la del peatón.
$v_c = 4v_{cy}$, $v_c = 8v_p$.
Esto implica que $v_{cy} = 2v_p$.
2. Análisis del trayecto desde C:
La distancia de $C$ a $B$ es $3 \text{ km}$.
Tiempo para llegar a $B$ y regresar:
El peatón y el ciclista salen de $C$ al mismo tiempo. Como el ciclista es el doble de rápido, llegará a $B$ mucho antes que el peatón.
Al dar la vuelta en $B$, el ciclista se mueve hacia $A$ (donde viene el coche).
3. Comparación:
El coche viene de $A$ (recorrido largo, $17 \text{ km}$ hasta $C$). El ciclista solo recorre $3 \text{ km}$ hasta $B$ y regresa.
Debido a que $v_c = 4v_{cy}$, el ciclista recorre su tramo de ida y vuelta ($6 \text{ km}$) mientras el coche recorre $24 \text{ km}$.
Como la distancia total $AB$ es $20 \text{ km}$, el ciclista encontrará al coche antes de que el peatón (que es más lento) pueda siquiera regresar de $B$.
4. Resultado:
$$ \boxed{\text{El ciclista}} $$