I
CAL1 • Aplicaciones_derivada
CALC_LIM_042
Schaum
Enunciado
Paso 1:
Demuestre que la razón de cambio instantánea del volumen de un cubo con respecto a su arista $x$ en pulgadas es $12 \text{ in}^3/\text{in}$ cuando $x = 2 \text{ in}$.
Demuestre que la razón de cambio instantánea del volumen de un cubo con respecto a su arista $x$ en pulgadas es $12 \text{ in}^3/\text{in}$ cuando $x = 2 \text{ in}$.
Solución Paso a Paso
1. Datos y fórmulas:
2. Desarrollo paso a paso:
3. Conclusión:
La razón de cambio es de 12 unidades de volumen por unidad de arista.
$$ \boxed{12 \text{ in}^3/\text{in}} $$
- Volumen de un cubo: $V = x^3$, donde $x$ es la longitud de la arista.
- Razón de cambio instantánea: Es la derivada del volumen respecto a la arista, $\frac{dV}{dx}$.
2. Desarrollo paso a paso:
- Planteamos la función del volumen:
$$ V(x) = x^3 $$ - Calculamos la derivada respecto a $x$:
$$ \frac{dV}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2 $$ - Evaluamos para $x = 2 \text{ in}$:
$$ \left. \frac{dV}{dx} \right|_{x=2} = 3(2)^2 $$
$$ \frac{dV}{dx} = 3(4) = 12 $$
3. Conclusión:
La razón de cambio es de 12 unidades de volumen por unidad de arista.
$$ \boxed{12 \text{ in}^3/\text{in}} $$