Ii
CAL1 • Aplicaciones_derivada
CALC_LIM_039
Schaum
Enunciado
Paso 1:
Encuentre las coordenadas del vértice $v$ de la parábola $y = x^2 - 4x + 1$ haciendo uso del hecho de que en el vértice la pendiente de la recta tangente es cero.
Encuentre las coordenadas del vértice $v$ de la parábola $y = x^2 - 4x + 1$ haciendo uso del hecho de que en el vértice la pendiente de la recta tangente es cero.
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
2. Fórmulas y propiedades:
3. Desarrollo paso a paso:
4. Conclusión:
Las coordenadas del vértice $V(x, y)$ son:
$$ \boxed{V(2, -3)} $$
- Ecuación de la curva: $y = x^2 - 4x + 1$
- Condición en el vértice: La pendiente de la tangente ($m$) es igual a $0$.
2. Fórmulas y propiedades:
- La pendiente de la recta tangente a una curva en cualquier punto se obtiene mediante su derivada: $m = y' = \frac{dy}{dx}$.
- Regla de derivación de potencias: $\frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}$.
3. Desarrollo paso a paso:
- Derivamos la función para obtener la expresión de la pendiente:
$$ y' = \frac{d}{dx}(x^2 - 4x + 1) $$
$$ y' = 2x - 4 $$ - Igualamos la derivada a cero, ya que el problema indica que en el vértice la pendiente es cero ($y' = 0$):
$$ 2x - 4 = 0 $$
$$ 2x = 4 \implies x = 2 $$ - Calculamos la coordenada $y$ sustituyendo el valor de $x$ en la ecuación original de la parábola:
$$ y = (2)^2 - 4(2) + 1 $$
$$ y = 4 - 8 + 1 $$
$$ y = -3 $$
4. Conclusión:
Las coordenadas del vértice $V(x, y)$ son:
$$ \boxed{V(2, -3)} $$